Calcular o comprimento da altura A H do triângulo A=(-3,0), B=(0,0) e C=(6,8). Determine as coordenadas do ponto H.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de geometria! A gente tem um triângulo com os pontos A=(-3, 0), B=(0, 0) e C=(6, 8). A tarefa é encontrar o comprimento da altura do triângulo a partir do ponto A até o lado BC, que a gente vai chamar de AH. Também precisamos descobrir as coordenadas do ponto H onde essa altura toca o lado BC. Para resolver isso, vamos usar conceitos de equações de retas e distância entre pontos no plano.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a equação da reta que representa o lado BC. Para isso, precisamos calcular a inclinação (ou coeficiente angular) da reta que passa pelos pontos B=(0, 0) e C=(6, 8).

Passo 3

A inclinação da reta BC é dada por:
mBC = y2 - y1x2 - x1 = 8 - 06 - 0 = 86 = 43
Então, a inclinação da reta BC é 43.

Passo 4

Agora, a altura AH é perpendicular à reta BC. Para encontrar a inclinação da altura, usamos que duas retas perpendiculares têm inclinações que são negativas recíprocas. Portanto, a inclinação da reta AH é:
mAH = -1mBC = -143 = -34

Passo 5

Com a inclinação da reta AH e sabendo que ela passa pelo ponto A=(-3, 0), podemos escrever a equação da reta AH usando a forma ponto-inclinação:
y - y1 = m(x - x1) y - 0 = -34(x - (-3)) y = -34(x + 3)
Então, a equação da reta AH é y = -34x - 94.

Passo 6

Agora, temos as equações das retas BC e AH. Vamos escrevê-las:
  • Reta BC: vamos usar que passa por B=(0, 0) e tem inclinação 43:
y = 43x
  • Reta AH: y = -34x - 94

Passo 7

Para encontrar o ponto H, que é a interseção das retas BC e AH, igualamos as duas equações:
43x = -34x - 94
Vamos resolver para x:
Multiplicando todos os termos por 12 para eliminar os denominadores:
12 cdot 43x = 12 cdot (-34x) - 12 cdot 94 16x = -9x - 27 16x + 9x = -27 25x = -27 x = -2725
Agora, substituímos x na equação de BC para achar y:
y = 43 (-2725) = -10875 = -3625
Portanto, as coordenadas do ponto H são (-2725, -3625).

Passo 8

Finalmente, vamos calcular o comprimento da altura AH. Usamos a fórmula da distância entre dois pontos:
d = raiz(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2
Onde A=(-3, 0) e H= (-2725, -3625):
d = raiz(-2725 - (-3))^2 + (-3625 - 0)^2 d = raiz(4825)^2 + (-3625)^2 d = raiz2304625 + 1296625 d = raiz3600625 d = 6025 d = 125 d = 2,4

Resposta

O comprimento da altura AH é 2,!4 unidades e as coordenadas do ponto H são (-2725, -3625).

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