Calcular o comprimento da altura do triângulo A=(-3,0), B=(0,0) e C=(6,8). Determine as coordenadas do ponto H.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de geometria! A gente tem um triângulo com os pontos A=(-3, 0), B=(0, 0) e C=(6, 8). A tarefa é encontrar o comprimento da altura do triângulo a partir do ponto A até o lado BC, que a gente vai chamar de AH. Também precisamos descobrir as coordenadas do ponto H onde essa altura toca o lado BC. Para resolver isso, vamos usar conceitos de equações de retas e distância entre pontos no plano.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a equação da reta que representa o lado BC. Para isso, precisamos calcular a inclinação (ou coeficiente angular) da reta que passa pelos pontos B=(0, 0) e C=(6, 8).
Passo 3
A inclinação da reta BC é dada por:
mBC = y2 - y1x2 - x1 = 8 - 06 - 0 = 86 = 43
Então, a inclinação da reta BC é 43.
Passo 4
Agora, a altura AH é perpendicular à reta BC. Para encontrar a inclinação da altura, usamos que duas retas perpendiculares têm inclinações que são negativas recíprocas. Portanto, a inclinação da reta AH é:
mAH = -1mBC = -143 = -34
Passo 5
Com a inclinação da reta AH e sabendo que ela passa pelo ponto A=(-3, 0), podemos escrever a equação da reta AH usando a forma ponto-inclinação:
y - y1 = m(x - x1) y - 0 = -34(x - (-3)) y = -34(x + 3)
Então, a equação da reta AH é y = -34x - 94.
Passo 6
Agora, temos as equações das retas BC e AH. Vamos escrevê-las:
Reta BC: vamos usar que passa por B=(0, 0) e tem inclinação 43:
y = 43x
Reta AH: y = -34x - 94
Passo 7
Para encontrar o ponto H, que é a interseção das retas BC e AH, igualamos as duas equações:
43x = -34x - 94
Vamos resolver para x:
Multiplicando todos os termos por 12 para eliminar os denominadores: