O ponto P=(2,-5) é um vértice de um quadrado que tem um dos seus lados não adjacentes a P sobre a reta x-2 y-7=0. Qual a área do quadrado?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de geometria juntos! A gente tem um ponto que é um vértice de um quadrado. Além disso, um dos lados do quadrado, que não é adjacente a , está sobre a reta . Nosso objetivo é encontrar a área desse quadrado. Para isso, vamos usar conceitos de distância entre ponto e reta, propriedades dos quadrados e fórmulas de geometria básica.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a posição do ponto d = |a x0 + b y0 + c|raiza^2 + b^2 em relação à reta dada. Como temos a reta d = |1 cdot 2 + (-2) cdot (-5) - 7|raiz1^2 + (-2)^2 = |2 + 10 - 7|raiz1 + 4 = |5|raiz5 = 5raiz5 = raiz5 , podemos reescrevê-la na forma , onde , e . Para encontrar a distância de até essa reta, usamos a fórmula da distância entre ponto e reta:
Substituindo os valores:

Passo 3

Agora, sabemos que a distância do ponto até a reta é . Como esse lado não é adjacente a , essa distância corresponde à altura do quadrado, que é igual ao lado do quadrado. Portanto, o lado do quadrado é igual a .

Passo 4

Para encontrar a área do quadrado, usamos a fórmula:
Área = L^2 Á
Substituindo o valor de Área = (raiz5)^2 = 5 :
Á

Resposta

A área do quadrado é unidades quadradas.

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