Calcular o comprimento de arco da curva dada na forma paramétrica:
x=t(1+t), y=ln (1+t) ; 0 <= t <= 2 ; integral raiza^2+u^2u^2 d u=-raiza^2+u^2u+ln (u+raiza^2+u^2)+c

Passo 1

Beleza, vamos calcular o comprimento de arco da curva definida pelas equações paramétricas e para entre 0 e 2. Para isso, vamos usar o conteúdo de cálculo integral, especificamente a fórmula do comprimento de arco para curvas paramétricas. Precisaremos derivar e em relação a e usar a fórmula de integração adequada.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a fórmula para o comprimento de arco de uma curva parametrizada por L = integrala^b raiz(dxdt)^2 + (dydt)^2 , dt e :
Isso nos diz que precisamos encontrar as derivadas de e em relação a , quadrá-las, somá-las, tirar a raiz quadrada e então integrar de até .

Passo 3

Vamos calcular as derivadas de dxdt = (1 + t)(1) - t(1)(1 + t)^2 = 1 + t - t(1 + t)^2 = 1(1 + t)^2 e dydt = 11 + t em relação a :
Para :
Para :

Passo 4

Agora, vamos calcular (dxdt)^2 = (1(1 + t)^2)^2 = 1(1 + t)^4 :
(dydt)^2 = (11 + t)^2 = 1(1 + t)^2
1(1 + t)^4 + 1(1 + t)^2 = 1 + (1 + t)^2(1 + t)^4 = 1 + 1 + 2t + t^2(1 + t)^4 = 2 + 2t + t^2(1 + t)^4
Somando essas duas expressões:

Passo 5

Simplificando a expressão dentro da raiz:
raiz2 + 2t + t^2(1 + t)^4 = raiz2 + 2t + t^2(1 + t)^2
Observando o numerador, pode ser reescrito como , que não é um quadrado perfeito, então vamos proceder com a integração.

Passo 6

Agora, a expressão para o comprimento de arco fica:
L = integral0^2 raizt^2 + 2t + 2(1 + t)^2 , dt
Vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Seja L = integral1^3 raiz(u - 1)^2 + 2(u - 1) + 2u^2 , du , então (u - 1)^2 + 2(u - 1) + 2 = u^2 - 2u + 1 + 2u - 2 + 2 = u^2 + 1 e os limites de integração mudam para L = integral1^3 raizu^2 + 1u^2 , du quando integral raiza^2 + u^2u^2 , du = -raiza^2 + u^2u + ln(u + raiza^2 + u^2) + C e L = [ -raiz1 + u^2u + ln(u + raiz1 + u^2) ]1^3 quando . Substituindo na integral:
Simplificando o interior da raiz:
Ent��o, a integral fica:
Agora, usamos a fórmula que foi fornecida:
Aqui, , então a integral definida é:

Passo 7

Vamos calcular isso para - raiz1 + 93 + ln(3 + raiz10) = -raiz103 + ln(3 + raiz10) e - raiz21 + ln(1 + raiz2) = -raiz2 + ln(1 + raiz2) :
Para L = ( -raiz103 + ln(3 + raiz10) ) - ( -raiz2 + ln(1 + raiz2) ) :
L = raiz2 - raiz103 + ln(3 + raiz101 + raiz2)
Para :
Subtraindo:
Simplificando:

Resposta

O comprimento de arco da curva é .

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