Calcular o comprimento de arco da curva dada na forma paramétrica:
Passo 1
Beleza, vamos calcular o comprimento de arco da curva definida pelas equações paramétricas
e
para
entre 0 e 2. Para isso, vamos usar o conteúdo de cálculo integral, especificamente a fórmula do comprimento de arco para curvas paramétricas. Precisaremos derivar
e
em relação a
e usar a fórmula de integração adequada.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a fórmula para o comprimento de arco de uma curva parametrizada por
e
:
Isso nos diz que precisamos encontrar as derivadas de
e
em relação a
, quadrá-las, somá-las, tirar a raiz quadrada e então integrar de
até
.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas de
e
em relação a
:
Para
:
Para
:
Passo 4
Agora, vamos calcular
:
Somando essas duas expressões:
Passo 5
Simplificando a expressão dentro da raiz:
Observando o numerador,
pode ser reescrito como
, que não é um quadrado perfeito, então vamos proceder com a integração.
Passo 6
Agora, a expressão para o comprimento de arco fica:
Vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Seja
, então
e os limites de integração mudam para
quando
e
quando
. Substituindo na integral:
Simplificando o interior da raiz:
Ent��o, a integral fica:
Agora, usamos a fórmula que foi fornecida:
Aqui,
, então a integral definida é:
Passo 7
Vamos calcular isso para
e
:
Para
:
Para
:
Subtraindo:
Simplificando:
Resposta
O comprimento de arco da curva é
.