Calcular o comprimento de arco da curva dada na forma paramétrica:
Passo 1
Beleza! Vamos calcular o comprimento de arco da curva paramétrica dada por
e
para
. Esse exercício envolve o estudo de comprimento de arco em curvas paramétricas. Para resolver isso, vamos precisar usar a fórmula que relaciona as derivadas das funções paramétricas com o cálculo de integrais. Não se preocupe, vamos passo a passo!
Passo 2
Primeiro, precisamos lembrar como encontrar a derivada de
e de
em relação a
. Ou seja, vamos calcular
e
.
Para
:
Para
:
Passo 3
Agora, vamos usar a fórmula do comprimento de arco para curvas paramétricas:
Onde
e
são os limites do parâmetro
, que no nosso caso são de
a
.
Passo 4
Vamos substituir
e
na fórmula:
Vamos simplificar cada termo dentro da raiz:
Somando os dois:
Sabemos que
, então:
Portanto, a integral fica:
Passo 5
Vamos simplificar a expressão. Sabemos que
(usando a identidade trigonométrica
). Então:
Sabemos que a integral de
de
a
é
. Portanto:
Passo 6
Substituindo na expressão:
Resposta
O comprimento de arco da curva é
.