Calcular o comprimento de arco da curva dada na forma paramétrica:
x = a cos^3(theta), y = a sen^3(theta); 0 <= theta <= 2 pi

Passo 1

Beleza! Vamos calcular o comprimento de arco da curva paramétrica dada por e para . Esse exercício envolve o estudo de comprimento de arco em curvas paramétricas. Para resolver isso, vamos precisar usar a fórmula que relaciona as derivadas das funções paramétricas com o cálculo de integrais. Não se preocupe, vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar como encontrar a derivada de e de em relação a . Ou seja, vamos calcular e .
Para :
Para :

Passo 3

Agora, vamos usar a fórmula do comprimento de arco para curvas paramétricas:
Onde e são os limites do parâmetro , que no nosso caso são de a .

Passo 4

Vamos substituir e na fórmula:
Vamos simplificar cada termo dentro da raiz:
Somando os dois:
Sabemos que , então:
Portanto, a integral fica:

Passo 5

Vamos simplificar a expressão. Sabemos que (usando a identidade trigonométrica ). Então:
Sabemos que a integral de de a é . Portanto:

Passo 6

Substituindo na expressão:

Resposta

O comprimento de arco da curva é .

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