Calcular o comprimento de arco da curva dada na forma paramétrica:
sent;
Passo 1
Beleza, vamos calcular o comprimento de arco da curva definida pelas funções paramétricas
e
no intervalo de
de 0 a
. Para isso, vamos usar o conceito de comprimento de arco em parametrizações, que envolve derivadas e integrais.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar as derivadas de
e
em relação a
. Vamos calcular
e
:
Passo 3
Agora, vamos usar a fórmula do comprimento de arco para curvas paramétricas:
Substituindo
e
:
Passo 4
Vamos simplificar a expressão dentro da raiz:
Expandindo os termos:
Como
:
Então, a expressão dentro da raiz fica:
Passo 5
Agora, o comprimento de arco fica:
Integrando
:
Então:
Resposta
O comprimento de arco da curva é
.