Calcular o comprimento de arco da curva dada na forma paramétrica:
x = e^t cos(t), y = e^t sent; 0 <= t <= pi

Passo 1

Beleza, vamos calcular o comprimento de arco da curva definida pelas funções paramétricas e no intervalo de de 0 a . Para isso, vamos usar o conceito de comprimento de arco em parametrizações, que envolve derivadas e integrais.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar as derivadas de e em relação a . Vamos calcular e :

Passo 3

Agora, vamos usar a fórmula do comprimento de arco para curvas paramétricas:
Substituindo e :

Passo 4

Vamos simplificar a expressão dentro da raiz:
Expandindo os termos:
Como :
Então, a expressão dentro da raiz fica:

Passo 5

Agora, o comprimento de arco fica:
Integrando :
Então:

Resposta

O comprimento de arco da curva é .

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