Enuncie e demonstre o Teorema de Bolzano-Weierstrass, para sucessões numéricas.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente enunciar e demonstrar o Teorema de Bolzano-Weierstrass para sucessões numéricas. Esse teorema faz parte da análise matemática e basicamente fala sobre a existência de subconjuntos convergentes em sequências limitadas. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são sequências limitadas e subconjuntos convergentes, além de usar alguns conceitos básicos de limite.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma sequência limitada. Uma sequência
é dita limitada se existe um número real
tal que todos os termos da sequência estão entre
e
. Ou seja:
Isso significa que os termos da sequência não “crescem” para infinito, eles ficam “presas” dentro desse intervalo.
Passo 3
Agora, o que é um subconjunto convergente? Um subconjunto de uma sequência é considerado convergente se existe um valor para o qual os termos desse subconjunto se aproximam infinitamente. Ou seja, se pegarmos uma parte da sequência, essa parte vai se aproximar de um certo número
.
Passo 4
Com esses conceitos em mente, vamos ao enunciado do Teorema de Bolzano-Weierstrass:
Teorema de Bolzano-Weierstrass: Toda sequência numérica limitada possui pelo menos um ponto de acumulação, ou seja, possui um subsequente que converge para um certo limite.
Passo 5
Agora, vamos demonstrar esse teorema. A ideia principal é usar o método de subdivisão intervalar para encontrar uma subsequência convergente.
Demonstração:
-
Sequência limitada: Sabemos que a sequência
está limitada, então existe tal que para todo . -
Dividir o intervalo: Vamos dividir o intervalo
em duas partes iguais: e . Pelo Teorema da Existência de Intervalo com Infinitos Termos, pelo menos um desses subintervalos deve conter infinitos termos da sequência. -
Escolher o subintervalo com infinitos termos: Suponha que
contenha infinitos termos. Agora, repetimos o processo dentro desse intervalo, dividindo-o novamente ao meio, e assim por diante. -
Construir a subsequência: Em cada etapa, escolhemos o subintervalo que contém infinitos termos e selecionamos um termo da sequência que pertence a esse subintervalo e que está após os termos já escolhidos. Isso garante que a subsequência está “descendo” para intervalos cada vez menores.
-
Convergência: Como os intervalos estão se tornando cada vez menores e são fechados (contêm seus limites), pela propriedade de completude dos números reais, a subsequência construída converge para um ponto
que pertence à interseção desses intervalos.
Portanto, concluímos que toda sequência limitada possui uma subsequência que converge, o que confirma o Teorema de Bolzano-Weierstrass.
Resposta
Teorema de Bolzano-Weierstrass: Toda sequência numérica limitada possui pelo menos uma subsequência que converge para um certo limite.