Consideremos uma série sumn=1^infty xn e suponhamos que lim n infty|xn+1xn| exista. Seja x0 tal limite. Mostre que a série converge absolutamente se x0<1. A referida série converge se x0=1 ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre uma série infinita da forma sumn=1^infty xn. A gente sabe que, se a razão entre termos consecutivos da série tende a um limite x0 quando n vai pra infinito, ou seja, lim n infty|xn+1xn| = x0, então podemos usar o Teste da Razão para investigar a convergência da série. A gente vai precisar entender esse teste e aplicação dele para verificar se a série converge absolutamente quando x0 < 1 e também o que acontece quando x0 = 1.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o Teste da Razão. Esse teste diz que, se a limitação do valor absoluto da razão entre termos consecutivos de uma série sumn=1^infty xn é igual a L, ou seja:
L = limn to infty | xn+1xn |
então:
  • Se L < 1, a série converge absolutamente.
  • Se L > 1, a série diverge.
  • Se L = 1, o teste é inconclusivo.
No nosso caso, o limite é x0.

Passo 3

Vamos aplicar isso ao nosso exercício. Sabemos que lim n infty|xn+1xn| = x0. Então, usando o Teste da Razão:
  • Se x0 < 1, pela regra do teste, a série sumn=1^infty xn converge absolutamente.
  • Se x0 > 1, a série diverge.
  • Se x0 = 1, o teste não nos dá uma resposta direta sobre a convergência.

Passo 4

Agora, focando na segunda parte da pergunta: “A referida série converge se x0 = 1?” Como vimos, quando x0 = 1, o Teste da Razão é inconclusivo, ou seja, ele não nos diz se a série converge ou diverge. Isso significa que, nesse caso específico, precisamos usar outro método ou análise para determinar a convergência da série.
Por exemplo, podemos tentar comparar com outra série conhecida ou verificar a natureza dos termos da série para decidir. Sem mais informações sobre os xn, não podemos afirmar categoricamente se a série converge ou não quando x0 = 1.

Resposta

A série sumn=1^infty xn converge absolutamente se x0 < 1. Quando x0 = 1, o Teste da Razão não nos permite concluir se a série converge ou diverge; nesse caso, precisamos analisar a série com outros métodos para determinar sua convergência.

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