Estabelecer a integral que dá o comprimento de arco da curva dada:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente descobrir a integral que representa o comprimento do arco da curva definida por
no intervalo de
. Isso tá relacionado ao cálculo de comprimento de arco em cálculo diferencial, então precisamos usar umas fórmulas de integrais para resolver.
Passo 2
Primeiro, lembra da fórmula básica pra calcular o comprimento de arco de uma curva
entre dois pontos
e
:
Aqui,
é a derivada de
em relação a
.
Passo 3
Agora, vamos encontrar a derivada de
em relação a
. Temos:
Então, calculando a derivada:
Passo 4
Com a derivada em mãos, vamos substituir na fórmula do comprimento de arco. Ficou assim:
Passo 5
Agora, simplificamos a expressão dentro da raiz. Sabemos que
. Então:
Por isso, a integral fica:
Resposta
O comprimento de arco da curva é dado pela integral: