Estabelecer a integral que dá o comprimento de arco da curva dada:
y = -ln(|cos(x)|), 0 <= x <= pi/6

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente descobrir a integral que representa o comprimento do arco da curva definida por no intervalo de . Isso tá relacionado ao cálculo de comprimento de arco em cálculo diferencial, então precisamos usar umas fórmulas de integrais para resolver.

Passo 2

Primeiro, lembra da fórmula básica pra calcular o comprimento de arco de uma curva entre dois pontos e :
Aqui, é a derivada de em relação a .

Passo 3

Agora, vamos encontrar a derivada de em relação a . Temos:
Então, calculando a derivada:

Passo 4

Com a derivada em mãos, vamos substituir na fórmula do comprimento de arco. Ficou assim:

Passo 5

Agora, simplificamos a expressão dentro da raiz. Sabemos que . Então:
Por isso, a integral fica:

Resposta

O comprimento de arco da curva é dado pela integral:

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