Calcular o comprimento de arco da curva dada na forma paramétrica:
x = sen(2t), y = cos(2t); 0 <= t <= 2pi

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o comprimento de arco de uma curva que está descrita de forma paramétrica. O enunciado nos deu as equações:
com variando de a . Para isso, vamos usar a fórmula do comprimento de arco para curvas paramétricas, que é baseada no cálculo de integrais. Vamos precisar saber como derivar as funções e aplicar a fórmula correta.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para calcular o comprimento de arco de uma curva paramétrica. Se temos e , o comprimento de arco de até é dado por:
Então, nosso próximo passo é encontrar as derivadas de e em relação a .

Passo 3

Vamos calcular e :

Passo 4

Agora, vamos substituir essas derivadas na fórmula do comprimento de arco:
Simplificando dentro da raiz:
E sabemos que , então:

Passo 5

A integral agora fica mais simples:
Integrando:

Resposta

O comprimento de arco da curva é .

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