Calcular o comprimento de arco da curva dada na forma paramétrica:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o comprimento de arco de uma curva que está descrita de forma paramétrica. O enunciado nos deu as equações:
com
variando de
a
. Para isso, vamos usar a fórmula do comprimento de arco para curvas paramétricas, que é baseada no cálculo de integrais. Vamos precisar saber como derivar as funções e aplicar a fórmula correta.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para calcular o comprimento de arco de uma curva paramétrica. Se temos
e
, o comprimento de arco
de
até
é dado por:
Então, nosso próximo passo é encontrar as derivadas de
e
em relação a
.
Passo 3
Vamos calcular
e
:
Passo 4
Agora, vamos substituir essas derivadas na fórmula do comprimento de arco:
Simplificando dentro da raiz:
E sabemos que
, então:
Passo 5
A integral agora fica mais simples:
Integrando:
Resposta
O comprimento de arco da curva é
.