Estabelecer a integral que dá o comprimento de arco da curva dada:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para estabelecer a integral que calcula o comprimento do arco da curva definida por
no intervalo de
de 1 a 4. Vamos usar o conceito de comprimento de arco da matéria de Cálculo. Para isso, vamos precisar da fórmula que relaciona a derivada da função com o comprimento do arco.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para calcular o comprimento de arco quando temos uma função
em termos de
. A fórmula é:
Aqui,
representa o comprimento do arco,
e
são os limites de
, e
é a derivada de
em relação a
.
Passo 3
Vamos calcular a derivada de
em relação a
. Dada a função:
A derivada de
em relação a
é:
Passo 4
Agora, vamos elevar essa derivada ao quadrado, conforme a fórmula do comprimento do arco:
Passo 5
Substituindo na fórmula do comprimento de arco, temos:
Resposta
A integral que dá o comprimento de arco da curva
de
a
é:
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, do ponto
ao ponto
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