Estabelecer a integral que dá o comprimento de arco da curva dada:
x = y + y^3, 1 <= y <= 4

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para estabelecer a integral que calcula o comprimento do arco da curva definida por no intervalo de de 1 a 4. Vamos usar o conceito de comprimento de arco da matéria de Cálculo. Para isso, vamos precisar da fórmula que relaciona a derivada da função com o comprimento do arco.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para calcular o comprimento de arco quando temos uma função em termos de . A fórmula é:
Aqui, representa o comprimento do arco, e são os limites de , e é a derivada de em relação a .

Passo 3

Vamos calcular a derivada de em relação a . Dada a função:
A derivada de em relação a é:

Passo 4

Agora, vamos elevar essa derivada ao quadrado, conforme a fórmula do comprimento do arco:

Passo 5

Substituindo na fórmula do comprimento de arco, temos:

Resposta

A integral que dá o comprimento de arco da curva de a é:

Exercícios relacionados

Encontrar o comprimento de arco da curva dada:
y = 2 - 3 x, -2 <= x <= 1
Estabelecer a integral que dá o comprimento de arco da curva dada:
y = 2^x, 0 <= x <= 3
Estabelecer a integral que dá o comprimento de arco da curva dada:
x y = 1, do ponto 1,1 ao ponto (2, 1/2)
Calcular o comprimento de arco da curva dada na forma paramétrica:
x = sen(2t), y = cos(2t); 0 <= t <= 2pi