Estabelecer a integral que dá o comprimento de arco da curva dada:
x y = 1, do ponto 1,1 ao ponto (2, 1/2)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar a integral que representa o comprimento do arco da curva , indo do ponto até . Vamos usar conceitos de cálculo, especificamente a fórmula do comprimento de arco, e precisaríamos saber como derivar a função e aplicar essa fórmula.

Passo 2

Primeiro, vamos expressar em termos de para facilitar. A equação pode ser reescrita como:
Isso nos dá a função que vamos usar para encontrar o comprimento do arco.

Passo 3

Agora, precisamos da fórmula para o comprimento do arco de uma curva no intervalo de até . A fórmula é:
Essa fórmula basicamente soma pequenos segmentos do arco, considerando a inclinação da curva.

Passo 4

Vamos calcular a derivada de em relação a . Dada , a derivada é:
Essa derivada nos mostra a inclinação da curva em cada ponto .

Passo 5

Agora, substituímos na fórmula do comprimento do arco:
Simplificando dentro da raiz:

Passo 6

Portanto, a integral que representa o comprimento do arco da curva de a é:

Resposta

A integral que dá o comprimento de arco é:

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