Estabelecer a integral que dá o comprimento de arco da curva dada:
, do ponto
ao ponto
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar a integral que representa o comprimento do arco da curva
, indo do ponto
até
. Vamos usar conceitos de cálculo, especificamente a fórmula do comprimento de arco, e precisaríamos saber como derivar a função e aplicar essa fórmula.
Passo 2
Primeiro, vamos expressar
em termos de
para facilitar. A equação
pode ser reescrita como:
Isso nos dá a função
que vamos usar para encontrar o comprimento do arco.
Passo 3
Agora, precisamos da fórmula para o comprimento do arco de uma curva
no intervalo de
até
. A fórmula é:
Essa fórmula basicamente soma pequenos segmentos do arco, considerando a inclinação da curva.
Passo 4
Vamos calcular a derivada de
em relação a
. Dada
, a derivada é:
Essa derivada nos mostra a inclinação da curva em cada ponto
.
Passo 5
Agora, substituímos
na fórmula do comprimento do arco:
Simplificando dentro da raiz:
Passo 6
Portanto, a integral que representa o comprimento do arco da curva
de
a
é:
Resposta
A integral que dá o comprimento de arco é:
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