Calcular o comprimento de arco das curvas dadas na forma paramétrica
.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular o comprimento de arco das curvas definidas pelas equações paramétricas e , onde varia de a . Para resolver isso, vamos usar a fórmula do comprimento de arco para curvas parametrizadas, que envolve calcular derivadas das funções que definem a curva.

Passo 2

A fórmula para o comprimento de arco de uma curva parametrizada por e , para entre e , é:
Isso significa que precisamos calcular as derivadas de e em relação a .

Passo 3

Vamos calcular as derivadas das funções dadas:
Para :
Para :

Passo 4

Agora, substituímos essas derivadas na fórmula do comprimento de arco:
Simplificando os quadrados dentro da raiz:

Passo 5

Sabemos que pela identidade trigonométrica. Assim, a integral fica:

Passo 6

Finalmente, integrando em relação a de a :

Resposta

O comprimento de arco da curva é .

Exercícios relacionados

Nos itens abaixo, você deve:
  • Eliminar o parâmetro das equações paramétricas (quando possível);
  • Esboçar as curvas no plano cartesiano;
  • Indicar com uma seta a direção em que a curva é traçada quando o parâmetro aumenta.
Nos itens abaixo, você deve:
  • Eliminar o parâmetro das equações paramétricas (quando possível);
  • Esboçar as curvas no plano cartesiano;
  • Indicar com uma seta a direção em que a curva é traçada quando o parâmetro aumenta.
Nos itens abaixo, você deve:
  • Eliminar o parâmetro das equações paramétricas (quando possível);
  • Esboçar as curvas no plano cartesiano;
  • Indicar com uma seta a direção em que a curva é traçada quando o parâmetro aumenta.
Nos itens abaixo, você deve:
  • Eliminar o parâmetro das equações paramétricas (quando possível);
  • Esboçar as curvas no plano cartesiano;
  • Indicar com uma seta a direção em que a curva é traçada quando o parâmetro aumenta.