Calcular o comprimento de arco das curvas dadas na forma paramétrica .
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular o comprimento de arco das curvas definidas pelas equações paramétricas e , onde varia de a . Para resolver isso, vamos usar a fórmula do comprimento de arco para curvas parametrizadas, que envolve calcular derivadas das funções que definem a curva.
Passo 2
A fórmula para o comprimento de arco de uma curva parametrizada por e , para entre e , é:
Isso significa que precisamos calcular as derivadas de e em relação a .
Passo 3
Vamos calcular as derivadas das funções dadas:
Para :
Para :
Passo 4
Agora, substituímos essas derivadas na fórmula do comprimento de arco:
Simplificando os quadrados dentro da raiz:
Passo 5
Sabemos que pela identidade trigonométrica. Assim, a integral fica: