Nos itens abaixo, você deve:
- Eliminar o parâmetro das equações paramétricas (quando possível);
- Esboçar as curvas no plano cartesiano;
- Indicar com uma seta a direção em que a curva é traçada quando o parâmetro
aumenta.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um par de equações paramétricas:
O que precisamos fazer é eliminar o parâmetro
, desenhar a curva resultante no plano cartesiano e indicar a direção em que a curva é traçada conforme
aumenta. Para isso, vamos usar conhecimentos de álgebra para manipular as equações e de geometria para esboçar a curva.
Passo 2
Vamos eliminar o parâmetro
das equações. Começamos pela segunda equação:
Para isolar
, tiramos a raiz quadrada de ambos os lados:
Agora, substituímos
na primeira equação:
Portanto, a equação sem o parâmetro
é:
Passo 3
Com a equação
, vamos esboçar a curva no plano cartesiano. Essa é uma parábola que se abre para a direita. Para desenhar, podemos calcular alguns pontos:
Plotando esses pontos, vemos que a parábola
é simétrica em relação ao eixo
e passa pelos pontos calculados.
Passo 4
Agora, vamos indicar a direção em que a curva é traçada conforme
aumenta de
a
. Observando os valores calculados:
- Quando
, o ponto é . - Conforme
aumenta para , o ponto desce para . - Continuando, quando
alcança , o ponto sobe de volta para .
Isso significa que a curva começa em
, desce até a origem
e volta para
. Assim, desenhamos uma seta na parábola indicando esse movimento de ida e volta.
Resposta
A curva resultante é a parábola
, que se abre para a direita. Conforme o parâmetro
aumenta de
a
, a curva é traçada iniciando em
, descendo até
e retornando a
.
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Calcular o comprimento de arco das curvas dadas na forma paramétrica
.
Nos itens abaixo, você deve:
- Eliminar o parâmetro das equações paramétricas (quando possível);
- Esboçar as curvas no plano cartesiano;
- Indicar com uma seta a direção em que a curva é traçada quando o parâmetro
aumenta.
Nos itens abaixo, você deve:
- Eliminar o parâmetro das equações paramétricas (quando possível);
- Esboçar as curvas no plano cartesiano;
- Indicar com uma seta a direção em que a curva é traçada quando o parâmetro
aumenta.
Compare as curvas representadas pelas parametrizações. Em que elas diferem?