Nos itens abaixo, você deve:
  • Eliminar o parâmetro das equações paramétricas (quando possível);
  • Esboçar as curvas no plano cartesiano;
  • Indicar com uma seta a direção em que a curva é traçada quando o parâmetro aumenta.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um par de equações paramétricas:
O que precisamos fazer é eliminar o parâmetro , desenhar a curva resultante no plano cartesiano e indicar a direção em que a curva é traçada conforme aumenta. Para isso, vamos usar conhecimentos de álgebra para manipular as equações e de geometria para esboçar a curva.

Passo 2

Vamos eliminar o parâmetro das equações. Começamos pela segunda equação:
Para isolar , tiramos a raiz quadrada de ambos os lados:
Agora, substituímos na primeira equação:
Portanto, a equação sem o parâmetro é:

Passo 3

Com a equação , vamos esboçar a curva no plano cartesiano. Essa é uma parábola que se abre para a direita. Para desenhar, podemos calcular alguns pontos:
Plotando esses pontos, vemos que a parábola é simétrica em relação ao eixo e passa pelos pontos calculados.

Passo 4

Agora, vamos indicar a direção em que a curva é traçada conforme aumenta de a . Observando os valores calculados:
  • Quando , o ponto é .
  • Conforme aumenta para , o ponto desce para .
  • Continuando, quando alcança , o ponto sobe de volta para .
Isso significa que a curva começa em , desce até a origem e volta para . Assim, desenhamos uma seta na parábola indicando esse movimento de ida e volta.

Resposta

A curva resultante é a parábola , que se abre para a direita. Conforme o parâmetro aumenta de a , a curva é traçada iniciando em , descendo até e retornando a .

Exercícios relacionados

Calcular o comprimento de arco das curvas dadas na forma paramétrica
.
Nos itens abaixo, você deve:
  • Eliminar o parâmetro das equações paramétricas (quando possível);
  • Esboçar as curvas no plano cartesiano;
  • Indicar com uma seta a direção em que a curva é traçada quando o parâmetro aumenta.
Nos itens abaixo, você deve:
  • Eliminar o parâmetro das equações paramétricas (quando possível);
  • Esboçar as curvas no plano cartesiano;
  • Indicar com uma seta a direção em que a curva é traçada quando o parâmetro aumenta.
Compare as curvas representadas pelas parametrizações. Em que elas diferem?