Nos itens abaixo, você deve:
- Eliminar o parâmetro das equações paramétricas (quando possível);
- Esboçar as curvas no plano cartesiano;
- Indicar com uma seta a direção em que a curva é traçada quando o parâmetro
aumenta.
Passo 1
Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. A gente precisa:
- Eliminar o parâmetro das equações paramétricas.
- Esboçar as curvas no plano cartesiano.
- Indicar a direção em que a curva é traçada quando o parâmetro
aumenta.
As equações que temos são:
Vamos usar conhecimentos de trigonometria e álgebra para resolver.
Passo 2
Primeiro, vamos eliminar o parâmetro
. Sabemos que
e
são funções trigonométricas relacionadas. Lembrando que
, podemos escrever
em termos de
:
Então, a relação entre
e
é:
Passo 3
Agora que eliminamos o parâmetro, temos a equação cartesiana da curva:
Essa é a equação de uma hipérbole. No nosso caso, como
varia de
a
, vamos ver quais valores
e
assumem nesse intervalo.
Passo 4
Vamos analisar os limites de
e
quando
varia de
a
:
- Quando
: - Quando
se aproxima de :[
\cos t ) se aproxima de\Rightarrow x ) se aproxima de \
se aproxima de \Rightarrow y ) se aproxima de
Então,
varia de
até
(pela direita para a esquerda) e
aumenta de
até o infinito.
Passo 5
Vamos esboçar a curva no plano cartesiano. A equação
é uma hipérbole que está no primeiro e terceiro quadrantes. Porém, como
está entre
e
,
e
são positivos. Então, vamos considerar apenas a parte da hipérbole no primeiro quadrante.
Pontos importantes para o esboço:
- Ponto inicial:
- À medida que
diminui de para , aumenta de para o infinito.
Passo 6
Agora, vamos indicar a direção da curva conforme
aumenta de
para
. Pelo que vimos:
- Começamos em
. - Conforme
aumenta, diminui e aumenta.
Então, a seta na curva deve começar em
e ir em direção à esquerda e para cima, aproximando-se do eixo
sem nunca tocá-lo.
Resposta
A curva resultante é a hipérbole
no primeiro quadrante. Ela começa no ponto
e se estende para a esquerda e para cima à medida que
aumenta, com a direção indicada por uma seta partindo de
em direção ao infinito no eixo
.
Exercícios relacionados
Nos itens abaixo, você deve:
- Eliminar o parâmetro das equações paramétricas (quando possível);
- Esboçar as curvas no plano cartesiano;
- Indicar com uma seta a direção em que a curva é traçada quando o parâmetro
aumenta.
Calcular o comprimento de arco das curvas dadas na forma paramétrica
.
Compare as curvas representadas pelas parametrizações. Em que elas diferem?
Calcule os limites abaixo. Caso seja necessário calcule os limites laterais:
(7)
(7)