Nos itens abaixo, você deve:
  • Eliminar o parâmetro das equações paramétricas (quando possível);
  • Esboçar as curvas no plano cartesiano;
  • Indicar com uma seta a direção em que a curva é traçada quando o parâmetro aumenta.

Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. A gente precisa:
  • Eliminar o parâmetro das equações paramétricas.
  • Esboçar as curvas no plano cartesiano.
  • Indicar a direção em que a curva é traçada quando o parâmetro aumenta.
As equações que temos são:
Vamos usar conhecimentos de trigonometria e álgebra para resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos eliminar o parâmetro . Sabemos que e são funções trigonométricas relacionadas. Lembrando que , podemos escrever em termos de :
Então, a relação entre e é:

Passo 3

Agora que eliminamos o parâmetro, temos a equação cartesiana da curva:
Essa é a equação de uma hipérbole. No nosso caso, como varia de a , vamos ver quais valores e assumem nesse intervalo.

Passo 4

Vamos analisar os limites de e quando varia de a :
  • Quando :
  • Quando se aproxima de :[
    \cos t ) se aproxima de \Rightarrow x ) se aproxima de \
    se aproxima de \Rightarrow y ) se aproxima de
Então, varia de até (pela direita para a esquerda) e aumenta de até o infinito.

Passo 5

Vamos esboçar a curva no plano cartesiano. A equação é uma hipérbole que está no primeiro e terceiro quadrantes. Porém, como está entre e , e são positivos. Então, vamos considerar apenas a parte da hipérbole no primeiro quadrante.
Pontos importantes para o esboço:
  • Ponto inicial:
  • À medida que diminui de para , aumenta de para o infinito.

Passo 6

Agora, vamos indicar a direção da curva conforme aumenta de para . Pelo que vimos:
  • Começamos em .
  • Conforme aumenta, diminui e aumenta.
Então, a seta na curva deve começar em e ir em direção à esquerda e para cima, aproximando-se do eixo sem nunca tocá-lo.

Resposta

A curva resultante é a hipérbole no primeiro quadrante. Ela começa no ponto e se estende para a esquerda e para cima à medida que aumenta, com a direção indicada por uma seta partindo de em direção ao infinito no eixo .

Exercícios relacionados

Nos itens abaixo, você deve:
  • Eliminar o parâmetro das equações paramétricas (quando possível);
  • Esboçar as curvas no plano cartesiano;
  • Indicar com uma seta a direção em que a curva é traçada quando o parâmetro aumenta.
Calcular o comprimento de arco das curvas dadas na forma paramétrica
.
Compare as curvas representadas pelas parametrizações. Em que elas diferem?


Calcule os limites abaixo. Caso seja necessário calcule os limites laterais:
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