Nos itens abaixo, você deve:
- Eliminar o parâmetro das equações paramétricas (quando possível);
- Esboçar as curvas no plano cartesiano;
- Indicar com uma seta a direção em que a curva é traçada quando o parâmetro
aumenta.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um conjunto de equações paramétricas:
O que precisamos fazer é eliminar o parâmetro
para chegar a uma equação que relacione
e
diretamente. Depois, vamos esboçar o gráfico dessa curva no plano cartesiano e indicar a direção em que a curva é traçada conforme
aumenta.
Passo 2
Primeiro, vamos eliminar o parâmetro
. Olhando para a segunda equação, temos
. Podemos resolver essa equação para
:
Agora, vamos substituir esse valor de
na primeira equação
:
Passo 3
Vamos expandir a equação
:
Então, a relação entre
e
é:
Passo 4
Agora que temos a equação
, podemos identificar que essa é uma parábola aberta para a direita, já que o termo
está em função de
.
Para esboçar o gráfico, vamos calcular alguns pontos substituindo valores de
no intervalo dado
:
Passo 5
Com esses pontos, vamos plotar no plano cartesiano:
- (-3, 8)
- (-2, 7)
- (-1, 6)
- (0, 5)
- (1, 4)
- (2, 3)
- (3, 2)
Desenhando esses pontos e conectando-os, percebemos que formamos uma parábola que abre para a direita.
Passo 6
Agora, vamos indicar a direção em que a curva é traçada conforme
aumenta no intervalo
.
Observando a tabela de valores:
- Quando
, o ponto é (8, 8) - Conforme
aumenta, o ponto se move para a esquerda até , onde temos (-1,5) - Depois, conforme
continua aumentando até , o ponto se move para a direita novamente até (8,2)
Então, a direção começa no ponto (8,8), vai para a esquerda até (-1,5) e depois para a direita até (8,2).
Resposta
A equação eliminando o parâmetro é
. O esboço da curva é uma parábola que abre para a direita, traçada inicialmente do ponto (8,8) em direção a (-1,5) e depois para (8,2) conforme
aumenta de -3 a 3, indicando a direção com setas no gráfico.
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Prove, usando a definição formal de limite, que as seguintes funções são contínuas nos pontos dados:
(b) em
(b)
Nos itens abaixo, você deve:
- Eliminar o parâmetro das equações paramétricas (quando possível);
- Esboçar as curvas no plano cartesiano;
- Indicar com uma seta a direção em que a curva é traçada quando o parâmetro
aumenta.
Nos itens abaixo, você deve:
- Eliminar o parâmetro das equações paramétricas (quando possível);
- Esboçar as curvas no plano cartesiano;
- Indicar com uma seta a direção em que a curva é traçada quando o parâmetro
aumenta.
Calcular o comprimento de arco das curvas dadas na forma paramétrica
.