Nos itens abaixo, você deve:
  • Eliminar o parâmetro das equações paramétricas (quando possível);
  • Esboçar as curvas no plano cartesiano;
  • Indicar com uma seta a direção em que a curva é traçada quando o parâmetro t aumenta.
    {x: t^2 - 1, y: 5 - t, t in [-3, 3]}

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um conjunto de equações paramétricas:
O que precisamos fazer é eliminar o parâmetro para chegar a uma equação que relacione e diretamente. Depois, vamos esboçar o gráfico dessa curva no plano cartesiano e indicar a direção em que a curva é traçada conforme aumenta.

Passo 2

Primeiro, vamos eliminar o parâmetro . Olhando para a segunda equação, temos . Podemos resolver essa equação para :
Agora, vamos substituir esse valor de na primeira equação :

Passo 3

Vamos expandir a equação :
Então, a relação entre e é:

Passo 4

Agora que temos a equação , podemos identificar que essa é uma parábola aberta para a direita, já que o termo está em função de .
Para esboçar o gráfico, vamos calcular alguns pontos substituindo valores de no intervalo dado :

Passo 5

Com esses pontos, vamos plotar no plano cartesiano:
  • (-3, 8)
  • (-2, 7)
  • (-1, 6)
  • (0, 5)
  • (1, 4)
  • (2, 3)
  • (3, 2)
Desenhando esses pontos e conectando-os, percebemos que formamos uma parábola que abre para a direita.

Passo 6

Agora, vamos indicar a direção em que a curva é traçada conforme aumenta no intervalo .
Observando a tabela de valores:
  • Quando , o ponto é (8, 8)
  • Conforme aumenta, o ponto se move para a esquerda até , onde temos (-1,5)
  • Depois, conforme continua aumentando até , o ponto se move para a direita novamente até (8,2)
Então, a direção começa no ponto (8,8), vai para a esquerda até (-1,5) e depois para a direita até (8,2).

Resposta

A equação eliminando o parâmetro é . O esboço da curva é uma parábola que abre para a direita, traçada inicialmente do ponto (8,8) em direção a (-1,5) e depois para (8,2) conforme aumenta de -3 a 3, indicando a direção com setas no gráfico.

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