Nos itens abaixo, você deve:
  • Eliminar o parâmetro das equações paramétricas (quando possível);
  • Esboçar as curvas no plano cartesiano;
  • Indicar com uma seta a direção em que a curva é traçada quando o parâmetro aumenta.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos um par de equações paramétricas:
O que precisamos fazer é:
  1. Eliminar o parâmetro dessas equações para obter uma relação direta entre e .
  2. Esboçar a curva resultante no plano cartesiano.
  3. Indicar a direção em que a curva é traçada conforme aumenta.
Vamos resolver isso passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos eliminar o parâmetro . Para isso, precisamos expressar de uma equação e substituir na outra.
A equação para é:
Sabemos que , então:
Agora, vamos usar a identidade trigonométrica:
Substituindo :
Como , podemos isolar :
Substituindo na equação de :
Agora, vamos simplificar essa equação:
Então, a relação eliminando é:

Passo 3

Agora que temos a equação , vamos esboçar a curva no plano cartesiano.
Essa equação representa uma hipérbole centralizada em . Para desenhar:
  1. Identifique o centro da hipérbole, que é no ponto .
  2. Determine os eixos:
    • O termo indica que os ramos abrem horizontalmente.
  3. Calcule os vértices:
    • A hipérbole tem a forma , comparando com nossa equação, temos:
    • Os vértices estão a uma distância do centro ao longo do eixo , então:
Desenhando isso, teremos dois ramos da hipérbole se abrindo para a direita e para a esquerda a partir dos vértices e .

Passo 4

Por fim, vamos indicar a direção em que a curva é traçada conforme aumenta no intervalo .
Observando as equações paramétricas:
  • Conforme aumenta de a :
    • (e, portanto, ) aumenta de valores negativos para positivos, passando por infinito.
    • (e, portanto, ) também varia de a .
Isso significa que, ao começar com , a curva se aproxima do vértice esquerdo e se move para o vértice direito conforme aumenta.

Resposta

A equação da curva eliminando o parâmetro é:
A curva é uma hipérbole centrada em com vértices em e . Ao aumentar , a hipérbole é traçada da esquerda para a direita, iniciando no ramo esquerdo e seguindo para o direito.

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Nos itens abaixo, você deve:
  • Eliminar o parâmetro das equações paramétricas (quando possível);
  • Esboçar as curvas no plano cartesiano;
  • Indicar com uma seta a direção em que a curva é traçada quando o parâmetro aumenta.
Prove, usando a definição formal de limite, que as seguintes funções são contínuas nos pontos dados:
(b) em
Calcular o comprimento de arco das curvas dadas na forma paramétrica
.
Nos itens abaixo, você deve:
  • Eliminar o parâmetro das equações paramétricas (quando possível);
  • Esboçar as curvas no plano cartesiano;
  • Indicar com uma seta a direção em que a curva é traçada quando o parâmetro aumenta.