Nos itens abaixo, você deve:
- Eliminar o parâmetro das equações paramétricas (quando possível);
- Esboçar as curvas no plano cartesiano;
- Indicar com uma seta a direção em que a curva é traçada quando o parâmetro
aumenta.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos um par de equações paramétricas:
O que precisamos fazer é:
- Eliminar o parâmetro
dessas equações para obter uma relação direta entre e . - Esboçar a curva resultante no plano cartesiano.
- Indicar a direção em que a curva é traçada conforme
aumenta.
Vamos resolver isso passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos eliminar o parâmetro
. Para isso, precisamos expressar
de uma equação e substituir na outra.
A equação para
é:
Sabemos que
, então:
Agora, vamos usar a identidade trigonométrica:
Substituindo
:
Como
, podemos isolar
:
Substituindo na equação de
:
Agora, vamos simplificar essa equação:
Então, a relação eliminando
é:
Passo 3
Agora que temos a equação
, vamos esboçar a curva no plano cartesiano.
Essa equação representa uma hipérbole centralizada em
. Para desenhar:
- Identifique o centro da hipérbole, que é no ponto
. - Determine os eixos:
- O termo
indica que os ramos abrem horizontalmente.
- O termo
- Calcule os vértices:
- A hipérbole tem a forma
, comparando com nossa equação, temos: - Os vértices estão a uma distância
do centro ao longo do eixo , então:
- A hipérbole tem a forma
Desenhando isso, teremos dois ramos da hipérbole se abrindo para a direita e para a esquerda a partir dos vértices
e
.
Passo 4
Por fim, vamos indicar a direção em que a curva é traçada conforme
aumenta no intervalo
.
Observando as equações paramétricas:
- Conforme
aumenta de a : -
(e, portanto, ) aumenta de valores negativos para positivos, passando por infinito. -
(e, portanto, ) também varia de a .
-
Isso significa que, ao começar com
, a curva se aproxima do vértice esquerdo e se move para o vértice direito conforme
aumenta.
Resposta
A equação da curva eliminando o parâmetro
é:
A curva é uma hipérbole centrada em
com vértices em
e
. Ao aumentar
, a hipérbole é traçada da esquerda para a direita, iniciando no ramo esquerdo e seguindo para o direito.
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- Esboçar as curvas no plano cartesiano;
- Indicar com uma seta a direção em que a curva é traçada quando o parâmetro
aumenta.
Prove, usando a definição formal de limite, que as seguintes funções são contínuas nos pontos dados:
(b) em
(b)
Calcular o comprimento de arco das curvas dadas na forma paramétrica
.
Nos itens abaixo, você deve:
- Eliminar o parâmetro das equações paramétricas (quando possível);
- Esboçar as curvas no plano cartesiano;
- Indicar com uma seta a direção em que a curva é traçada quando o parâmetro
aumenta.