Resolva a integral indefinida
b)
b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral indefinida:
Esse problema envolve cálculo de integrais racionais, ou seja, integrais onde o numerador e o denominador são polinômios. Para resolver, vamos usar a fração parcial, que ajuda a quebrar a fração complicada em partes mais simples que a gente sabe integrar.
Passo 2
Primeiro, precisamos decompor a fração
em frações parciais. Vamos supor que ela pode ser escrita como:
Aqui,
,
, e
são constantes que precisamos encontrar.
Passo 3
Multiplicamos ambos os lados da equação pelo denominador comum
para eliminar as frações:
Agora, vamos expandir e simplificar o lado direito:
Passo 4
Vamos agrupar os termos semelhantes no lado direito:
Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes:
-
Para
:
-
Para
:
-
Para o termo constante:
Passo 5
Temos um sistema de três equações:
Vamos resolver esse sistema passo a passo. Primeiro, da equação 1, podemos expressar
em termos de
:
Passo 6
Substituímos
na equação 2:
Simplificando:
Agora, da equação 3:
Passo 7
Agora temos:
Vamos somar essas duas equações para eliminar
:
Então,
Passo 8
Com
, vamos encontrar
:
Agora, substituímos
na equação
:
Passo 9
Agora que temos os valores de
,
e
:
Podemos reescrever a fração original como:
Passo 10
Agora, vamos reescrever a expressão para facilitar a integração:
Podemos tirar os coeficientes constantes para fora das integrais:
Passo 11
Vamos resolver cada integral separadamente.
- Primeira integral:
- Segunda integral:
Para
, fazemos uma substituição:
Deixe
, então
Podemos reescrever o numerador:
Nós podemos reescrever o numerador
como
, então:
- Terceira integral:
Para
, completamos o quadrado no denominador:
Então, a integral fica:
Passo 12
Voltando à segunda integral, temos:
Simplificando:
Passo 13
Juntando todas as partes, a solução da integral é:
Onde
é a constante de integração.
Resposta
A integral indefinida é:
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Calcular, se convergir,