Resolva a integral indefinida
b) integral (x^2-2 x-3) d x(x-1)(x^2+2 x+2)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral indefinida:
integral x^2 - 2x - 3(x - 1)(x^2 + 2x + 2) , dx
Esse problema envolve cálculo de integrais racionais, ou seja, integrais onde o numerador e o denominador são polinômios. Para resolver, vamos usar a fração parcial, que ajuda a quebrar a fração complicada em partes mais simples que a gente sabe integrar.

Passo 2

Primeiro, precisamos decompor a fração x^2 - 2x - 3(x - 1)(x^2 + 2x + 2) = Ax - 1 + Bx + Cx^2 + 2x + 2 em frações parciais. Vamos supor que ela pode ser escrita como:
Aqui, , , e são constantes que precisamos encontrar.

Passo 3

Multiplicamos ambos os lados da equação pelo denominador comum x^2 - 2x - 3 = A(x^2 + 2x + 2) + (Bx + C)(x - 1) para eliminar as frações:
x^2 - 2x - 3 = A x^2 + 2A x + 2A + Bx^2 - Bx + Cx - C
Agora, vamos expandir e simplificar o lado direito:

Passo 4

Vamos agrupar os termos semelhantes no lado direito:
x^2 - 2x - 3 = (A + B)x^2 + (2A - B + C)x + (2A - C)
Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes:
  • Para :
  • Para :
  • Para o termo constante:

Passo 5

Temos um sistema de três equações:
Vamos resolver esse sistema passo a passo. Primeiro, da equação 1, podemos expressar em termos de :

Passo 6

Substituímos na equação 2:
Simplificando:
Agora, da equação 3:

Passo 7

Agora temos:
Vamos somar essas duas equações para eliminar :
Então,

Passo 8

Com , vamos encontrar :
Agora, substituímos na equação :

Passo 9

Agora que temos os valores de x^2 - 2x - 3(x - 1)(x^2 + 2x + 2) = -45x - 1 + 95x + 75x^2 + 2x + 2 , e :
Podemos reescrever a fração original como:

Passo 10

Agora, vamos reescrever a expressão para facilitar a integração:
integral -45x - 1 , dx + integral 95x + 75x^2 + 2x + 2 , dx
Podemos tirar os coeficientes constantes para fora das integrais:
-45 integral 1x - 1 , dx + 95 integral xx^2 + 2x + 2 , dx + 75 integral 1x^2 + 2x + 2 , dx

Passo 11

Vamos resolver cada integral separadamente.
  1. Primeira integral:
-45 integral 1x - 1 , dx = -45 ln|x - 1| + C1
  1. Segunda integral:
Para integral xx^2 + 2x + 2 , dx = 12 ln|x^2 + 2x + 2| - integral 1x^2 + 2x + 2 , dx , fazemos uma substituição:
Deixe integral 1(x + 1)^2 + 1 , dx = tan^-1(x + 1) + C2 , então
Podemos reescrever o numerador:
– na verdade, uma abordagem melhor é ajustar:
Nós podemos reescrever o numerador como , então:
  1. Terceira integral:
Para , completamos o quadrado no denominador:
Então, a integral fica:

Passo 12

Voltando à segunda integral, temos:
95 ( 12 ln|x^2 + 2x + 2| - tan^-1(x + 1) )
Simplificando:
910 ln|x^2 + 2x + 2| - 95 tan^-1(x + 1)

Passo 13

Juntando todas as partes, a solução da integral é:
-45 ln|x - 1| + 910 ln|x^2 + 2x + 2| - 95 tan^-1(x + 1) + C
Onde é a constante de integração.

Resposta

A integral indefinida é:
-45 ln|x - 1| + 910 ln|x^2 + 2x + 2| - 95 tan^-1(x + 1) + C

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