Resolva a integral indefinida
b)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral indefinida:
Esse problema envolve cálculo de integrais racionais, ou seja, integrais onde o numerador e o denominador são polinômios. Para resolver, vamos usar a fração parcial, que ajuda a quebrar a fração complicada em partes mais simples que a gente sabe integrar.

Passo 2

Primeiro, precisamos decompor a fração em frações parciais. Vamos supor que ela pode ser escrita como:
Aqui, , , e são constantes que precisamos encontrar.

Passo 3

Multiplicamos ambos os lados da equação pelo denominador comum para eliminar as frações:
Agora, vamos expandir e simplificar o lado direito:

Passo 4

Vamos agrupar os termos semelhantes no lado direito:
Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes:
  • Para :
  • Para :
  • Para o termo constante:

Passo 5

Temos um sistema de três equações:
Vamos resolver esse sistema passo a passo. Primeiro, da equação 1, podemos expressar em termos de :

Passo 6

Substituímos na equação 2:
Simplificando:
Agora, da equação 3:

Passo 7

Agora temos:
Vamos somar essas duas equações para eliminar :
Então,

Passo 8

Com , vamos encontrar :
Agora, substituímos na equação :

Passo 9

Agora que temos os valores de , e :
Podemos reescrever a fração original como:

Passo 10

Agora, vamos reescrever a expressão para facilitar a integração:
Podemos tirar os coeficientes constantes para fora das integrais:

Passo 11

Vamos resolver cada integral separadamente.
  1. Primeira integral:
  1. Segunda integral:
Para , fazemos uma substituição:
Deixe , então
Podemos reescrever o numerador:
– na verdade, uma abordagem melhor é ajustar:
Nós podemos reescrever o numerador como , então:
  1. Terceira integral:
Para , completamos o quadrado no denominador:
Então, a integral fica:

Passo 12

Voltando à segunda integral, temos:
Simplificando:

Passo 13

Juntando todas as partes, a solução da integral é:
Onde é a constante de integração.

Resposta

A integral indefinida é:

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