Calcular as coordenadas cartesianas dos seguintes pontos de coordenadas esféricas: (rho, theta, varphi)=(1,30^circ, 60^circ); (rho, theta, varphi)=(2,120^circ, 45^circ).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de coordenadas esféricas para cartesianas. A gente vai trabalhar com trigonometria e conversão de coordenadas. Precisamos usar as fórmulas que ligam as coordenadas esféricas (rho, theta, varphi) às cartesianas (x, y, z).

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar quais são as fórmulas para converter de esféricas para cartesianas:
x = rho cdot sin(varphi) cdot cos(theta) y = rho cdot sin(varphi) cdot sin(theta) z = rho cdot cos(varphi)
Aqui, rho é a distância do ponto à origem, theta é o ângulo no plano xy a partir do eixo x, e varphi é o ângulo a partir do eixo z.

Passo 3

Vamos calcular para o primeiro ponto: (rho, theta, varphi) = (1, 30^circ, 60^circ).
Primeiro, vamos converter os ângulos de graus para radianos, mas como a maioria das calculadoras trabalha com graus e as funções trigonométricas podem aceitar graus, podemos manter os ângulos em graus.

Passo 4

Calculando x:
x = 1 cdot sin(60^circ) cdot cos(30^circ)
Sabemos que sin(60^circ) = raiz32 e cos(30^circ) = raiz32, então:
x = 1 cdot raiz32 cdot raiz32 = 34

Passo 5

Calculando y:
y = 1 cdot sin(60^circ) cdot sin(30^circ)
Sabemos que sin(30^circ) = 12, então:
y = 1 cdot raiz32 cdot 12 = raiz34

Passo 6

Calculando z:
z = 1 cdot cos(60^circ) = 1 cdot 12 = 12

Passo 7

Agora, vamos para o segundo ponto: (rho, theta, varphi) = (2, 120^circ, 45^circ).
Calculando x:
x = 2 cdot sin(45^circ) cdot cos(120^circ)
Sabemos que sin(45^circ) = raiz22 e cos(120^circ) = -12, então:
x = 2 cdot raiz22 cdot (-12) = -raiz22

Passo 8

Calculando y:
y = 2 cdot sin(45^circ) cdot sin(120^circ)
Sabemos que sin(120^circ) = raiz32, então:
y = 2 cdot raiz22 cdot raiz32 = raiz62

Passo 9

Calculando z:
z = 2 cdot cos(45^circ) = 2 cdot raiz22 = raiz2

Resposta

As coordenadas cartesianas dos pontos são:
  1. Para (1, 30^circ, 60^circ):
(x, y, z) = (34, raiz34, 12)
  1. Para (2, 120^circ, 45^circ):
(x, y, z) = (-raiz22, raiz62, raiz2)

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