Calcular as coordenadas cartesianas dos seguintes pontos de coordenadas esféricas: ; .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de coordenadas esféricas para cartesianas. A gente vai trabalhar com trigonometria e conversão de coordenadas. Precisamos usar as fórmulas que ligam as coordenadas esféricas às cartesianas .
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar quais são as fórmulas para converter de esféricas para cartesianas:
Aqui, rho é a distância do ponto à origem, theta é o ângulo no plano xy a partir do eixo x, e varphi é o ângulo a partir do eixo z.
Passo 3
Vamos calcular para o primeiro ponto: (rho, theta, varphi) = (1, 30^circ, 60^circ).
Primeiro, vamos converter os ângulos de graus para radianos, mas como a maioria das calculadoras trabalha com graus e as funções trigonométricas podem aceitar graus, podemos manter os ângulos em graus.
Passo 4
Calculando x:
x = 1 cdot sin(60^circ) cdot cos(30^circ)
Sabemos que sin(60^circ) = raiz32 e cos(30^circ) = raiz32, então:
x = 1 cdot raiz32 cdot raiz32 = 34
Passo 5
Calculando y:
y = 1 cdot sin(60^circ) cdot sin(30^circ)
Sabemos que sin(30^circ) = 12, então:
y = 1 cdot raiz32 cdot 12 = raiz34
Passo 6
Calculando z:
z = 1 cdot cos(60^circ) = 1 cdot 12 = 12
Passo 7
Agora, vamos para o segundo ponto: (rho, theta, varphi) = (2, 120^circ, 45^circ).
Calculando x:
x = 2 cdot sin(45^circ) cdot cos(120^circ)
Sabemos que sin(45^circ) = raiz22 e cos(120^circ) = -12, então: