Resolva os seguintes sistemas utilizando a Regra de Cramer:
(a) ;
Passo 1
Então, a gente tem um sistema de equações lineares que precisa resolver usando a Regra de Cramer. As equações são:
x + 2y + z = 1 2y + 2z = -4 x + y + z = 2
Vamos precisar conhecer um pouco sobre determinantes e como aplicar a Regra de Cramer para encontrar os valores de , e .
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a matriz dos coeficientes do sistema. Essa matriz é formada pelos números que acompanham as incógnitas nas equações:
A = 1 & 2 & 1 0 & 2 & 2 1 & 1 & 1
Passo 3
Agora, precisamos calcular o determinante dessa matriz det(A) = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg) , que vai ser o denominador na Regra de Cramer. O determinante de uma matriz 3x3 é calculado assim:
det(A) = 1 times (2 times 1 - 2 times 1) - 2 times (0 times 1 - 2 times 1) + 1 times (0 times 1 - 2 times 1)
Aplicando isso à nossa matriz:
det(A) = 1 times (2 - 2) - 2 times (0 - 2) + 1 times (0 - 2)
det(A) = 0 + 4 - 2 = 2
Passo 4
Agora, vamos encontrar os determinantes das matrizes Ax = 1 & 2 & 1 -4 & 2 & 2 2 & 1 & 1 , det(Ax) = 1 times (2 times 1 - 2 times 1) - 2 times (-4 times 1 - 2 times 2) + 1 times (-4 times 1 - 2 times 2) e det(Ax) = 1 times 0 - 2 times (-4 - 4) + 1 times (-4 - 4) . Essas matrizes são iguais a det(Ax) = 0 + 16 - 8 = 8 , mas substituindo a coluna correspondente à incógnita pelo vetor dos termos constantes (lado direito das equações).
Primeiro, para (substituindo a coluna de ):
Calculando o determinante de :
Passo 5
Agora, para Ay = 1 & 1 & 1 0 & -4 & 2 1 & 2 & 1 (substituindo a coluna de det(Ay) = 1 times (-4 times 1 - 2 times 2) - 1 times (0 times 1 - 2 times 1) + 1 times (0 times 2 - (-4) times 1) ):
det(Ay) = 1 times (-4 - 4) - 1 times (0 - 2) + 1 times (0 + 4)
Calculando o determinante de det(Ay) = -8 + 2 + 4 = -2 :
Passo 6
Por último, para Az = 1 & 2 & 1 0 & 2 & -4 1 & 1 & 2 (substituindo a coluna de det(Az) = 1 times (2 times 2 - (-4) times 1) - 2 times (0 times 2 - (-4) times 1) + 1 times (0 times 1 - 2 times 1) ):
det(Az) = 1 times (4 + 4) - 2 times (0 + 4) + 1 times (0 - 2)
Calculando o determinante de det(Az) = 8 - 8 - 2 = -2 :
Passo 7
Agora, aplicamos a Regra de Cramer para encontrar as incógnitas: