Sabendo que |u|=11,|v|=23 e |u-v|=30, calcule |u+v|.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um problema de álgebra vetorial onde conhecemos as magnitudes dos vetores u e v, além da magnitude da diferença deles, |u - v|. Precisamos descobrir a magnitude da soma desses vetores, ou seja, |u + v|. Para resolver isso, vamos usar algumas fórmulas de vetores que relacionam magnitudes e produtos escalares.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar de duas fórmulas importantes que envolvem a soma e a diferença de vetores:
  1. A magnitude da soma dos vetores:
|u + v|^2 = |u|^2 + |v|^2 + 2,u cdot v
  1. A magnitude da diferença dos vetores:
|u - v|^2 = |u|^2 + |v|^2 - 2,u cdot v
Nessas fórmulas, u cdot v representa o produto escalar dos vetores u e v.

Passo 3

Como já sabemos o valor de |u - v|, vamos utilizar a segunda fórmula para encontrar o produto escalar u cdot v. Vamos substituir os valores conhecidos:
|u - v|^2 = |u|^2 + |v|^2 - 2,u cdot v
Sabemos que |u| = 11, |v| = 23 e |u - v| = 30.

Passo 4

Substituindo os valores na equação:
30^2 = 11^2 + 23^2 - 2,u cdot v
Calculando os quadrados:
900 = 121 + 529 - 2,u cdot v

Passo 5

Somando os termos constantes:
900 = 650 - 2,u cdot v
Agora, isolando o termo com o produto escalar:
900 - 650 = -2,u cdot v
250 = -2,u cdot v
Dividindo ambos os lados por -2:
u cdot v = -125

Passo 6

Agora que sabemos o valor de u cdot v, vamos usar a primeira fórmula para encontrar |u + v|^2:
|u + v|^2 = |u|^2 + |v|^2 + 2,u cdot v
Substituindo os valores conhecidos:
|u + v|^2 = 11^2 + 23^2 + 2 times (-125)
Calculando os quadrados e a multiplicação:
|u + v|^2 = 121 + 529 - 250
Somando os termos:
|u + v|^2 = 400

Passo 7

Para encontrar |u + v|, tiramos a raiz quadrada de 400:
|u + v| = raiz400 = 20

Resposta

A magnitude da soma dos vetores u + v é 20.

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