Calcular as coordenadas polares das interseções da reta raiz3 rho cos theta+rho sen theta-12=0 com os eixos polar e ortogonal, bem como o ângulo que ela faz com o e O x polar.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que está sendo pedido. Temos uma reta dada pela equação polar . Nosso objetivo é encontrar as coordenadas polares onde essa reta intersecta os eixos polar e ortogonal, além de determinar o ângulo que ela forma com o eixo raiz3 rho cos theta + rho sen theta - 12 = 0 polar. Para isso, vamos precisar usar conhecimentos de coordenadas polares, conversão entre coordenadas cartesianas e polares, além de fórmulas de interseção de retas com eixos.

Passo 2

Vamos rearranjar a equação da reta para facilitar a conversão para coordenadas cartesianas. Sabemos que rho cos theta = x e . Substituindo na equação:
rho sen theta = y

Passo 3

Agora, temos a equação da reta em coordenadas cartesianas: raiz3 x + y = 12. Para encontrar as interseções com os eixos, vamos calcular onde a reta cruza o eixo O x (quando y = 0) e o eixo O y (quando x = 0).

Passo 4

Primeiro, encontramos a interseção com o eixo O x. Substituindo y = 0 na equação:
raiz3 x = 12 Rightarrow x = 12raiz3 = 4raiz3
Portanto, as coordenadas cartesianas dessa interseção são (4raiz3, 0).

Passo 5

Agora, encontramos a interseção com o eixo O y. Substituindo x = 0 na equação:
y = 12
Então, as coordenadas cartesianas dessa interseção são (0, 12).

Passo 6

Vamos converter essas coordenadas cartesianas para coordenadas polares. A fórmula para converter de cartesianas para polares é:
rho = raizx^2 + y^2
theta = arctan(yx)
Para a interseção com O x, (4raiz3, 0):
rho = raiz(4raiz3)^2 + 0^2 = raiz48 = 4raiz3
theta = arctan(04raiz3) = 0
Então, em coordenadas polares: (4raiz3, 0).
Para a interseção com O y, (0, 12):
rho = raiz0^2 + 12^2 = 12
theta = arctan(120) = pi2 radianos (ou 90^circ)
Então, em coordenadas polares: (12, pi2).

Passo 7

Agora, vamos determinar o ângulo que a reta faz com o eixo O x polar. A inclinação da reta na forma cartesiana raiz3 x + y = 12 é encontrada rearranjando para y = -raiz3 x + 12. O coeficiente angular m é -raiz3.
O ângulo alpha que a reta faz com o eixo O x é dado por:
alpha = arctan(m) = arctan(-raiz3)
Sabemos que arctan(-raiz3) = -pi3 radianos (ou -60^circ).
Como normalmente consideramos ângulos positivos, podemos dizer que a reta faz um ângulo de 60^circ abaixo do eixo O x.

Resposta

As interseções da reta com os eixos são:
  • Com o eixo O x: (4raiz3, 0)
  • Com o eixo O y: (12, pi2)
Além disso, a reta faz um ângulo de 60^circ com o eixo O x polar.

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