Calcular as coordenadas polares das interseções da reta com os eixos polar e ortogonal, bem como o ângulo que ela faz com o e polar.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que está sendo pedido. Temos uma reta dada pela equação polar . Nosso objetivo é encontrar as coordenadas polares onde essa reta intersecta os eixos polar e ortogonal, além de determinar o ângulo que ela forma com o eixo polar. Para isso, vamos precisar usar conhecimentos de coordenadas polares, conversão entre coordenadas cartesianas e polares, além de fórmulas de interseção de retas com eixos.

Passo 2

Vamos rearranjar a equação da reta para facilitar a conversão para coordenadas cartesianas. Sabemos que e . Substituindo na equação:

Passo 3

Agora, temos a equação da reta em coordenadas cartesianas: . Para encontrar as interseções com os eixos, vamos calcular onde a reta cruza o eixo (quando ) e o eixo (quando ).

Passo 4

Primeiro, encontramos a interseção com o eixo . Substituindo na equação:
Portanto, as coordenadas cartesianas dessa interseção são .

Passo 5

Agora, encontramos a interseção com o eixo . Substituindo na equação:
Então, as coordenadas cartesianas dessa interseção são .

Passo 6

Vamos converter essas coordenadas cartesianas para coordenadas polares. A fórmula para converter de cartesianas para polares é:
Para a interseção com , :
Então, em coordenadas polares: .
Para a interseção com , :
radianos (ou )
Então, em coordenadas polares: .

Passo 7

Agora, vamos determinar o ângulo que a reta faz com o eixo polar. A inclinação da reta na forma cartesiana é encontrada rearranjando para . O coeficiente angular é .
O ângulo que a reta faz com o eixo é dado por:
Sabemos que radianos (ou ).
Como normalmente consideramos ângulos positivos, podemos dizer que a reta faz um ângulo de abaixo do eixo .

Resposta

As interseções da reta com os eixos são:
  • Com o eixo :
  • Com o eixo :
Além disso, a reta faz um ângulo de com o eixo polar.

Exercícios relacionados

Ex. 4. Simplifique as expressões algébricas fracionárias abaixo:
(b) ;
Seja uma base de . Em cada um dos itens abaixo, decida se é ou não uma base de
(i)
(ii)
(iii)
(iv)
Dar a equação cartesiana correspondente à equação polar . Determine, também, um par de equações paramétricas para essa curva.
Estude a dependência linear dos seguintes conjuntos de vetores, com coordenadas dadas em relação a uma base de :
(i)
(ii)
(iii)
(iv)