Calcular as coordenadas polares das interseções da reta
com os eixos polar e ortogonal, bem como o ângulo que ela faz com o e
polar.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que está sendo pedido. Temos uma reta dada pela equação polar . Nosso objetivo é encontrar as coordenadas polares onde essa reta intersecta os eixos polar e ortogonal, além de determinar o ângulo que ela forma com o eixo
polar. Para isso, vamos precisar usar conhecimentos de coordenadas polares, conversão entre coordenadas cartesianas e polares, além de fórmulas de interseção de retas com eixos.
Passo 2
Vamos rearranjar a equação da reta para facilitar a conversão para coordenadas cartesianas. Sabemos que
e . Substituindo na equação:
Passo 3
Agora, temos a equação da reta em coordenadas cartesianas:
. Para encontrar as interseções com os eixos, vamos calcular onde a reta cruza o eixo
(quando
) e o eixo
(quando
).
Passo 4
Primeiro, encontramos a interseção com o eixo
. Substituindo
na equação:
Portanto, as coordenadas cartesianas dessa interseção são
.
Passo 5
Agora, encontramos a interseção com o eixo
. Substituindo
na equação:
Então, as coordenadas cartesianas dessa interseção são
.
Passo 6
Vamos converter essas coordenadas cartesianas para coordenadas polares. A fórmula para converter de cartesianas para polares é:
Para a interseção com
,
:
Então, em coordenadas polares:
.
Para a interseção com
,
:
Então, em coordenadas polares:
.
Passo 7
Agora, vamos determinar o ângulo que a reta faz com o eixo
polar. A inclinação da reta na forma cartesiana
é encontrada rearranjando para
. O coeficiente angular
é
.
O ângulo
que a reta faz com o eixo
é dado por:
Sabemos que
radianos (ou
).
Como normalmente consideramos ângulos positivos, podemos dizer que a reta faz um ângulo de
abaixo do eixo
.
Resposta
As interseções da reta com os eixos são:
- Com o eixo
: - Com o eixo
:
Além disso, a reta faz um ângulo de
com o eixo
polar.