Seja e1, e2, e3 uma base de V^3. Em cada um dos itens abaixo, decida se u, v, w é ou não uma base de V^3
(i) u=3 e1+2 e2-e3, v=e1+e2+e3, w=4 e1+3 e2
(ii) u=e1+e2, v=e1+e3, w=e2+e3
(iii) u=e2, v=e3, w=e1
(iv) u=2 e1+3 e2+e3, v=-e1-e2+e3, w=e2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente precisa aqui é verificar se, para cada conjunto de vetores dado, eles formam uma base do espaço tridimensional . Isso envolve dois pontos principais: linearidade independente e geração do espaço. Basicamente, a gente quer saber se os vetores não estão “em cima um do outro” (linearmente independentes) e se eles conseguem alcançar qualquer ponto no espaço (geram o espaço todo). Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear como matrizes e determinantes.

Passo 2

Vamos começar analisando cada conjunto de vetores separadamente.
Item (i):
u = 3e1 + 2e2 - e3, v = e1 + e2 + e3, w = 4e1 + 3e2
Para verificar se esses vetores são uma base, vamos montar a matriz com eles e calcular o determinante. Se o determinante for diferente de zero, significa que são linearmente independentes e, portanto, formam uma base.
Matriz:
3 & 1 & 4 2 & 1 & 3 -1 & 1 & 0
Calculando o determinante:
det = 3(1 cdot 0 - 3 cdot 1) - 1(2 cdot 0 - 3 cdot (-1)) + 4(2 cdot 1 - 1 cdot (-1)) = 3(-3) - 1(3) + 4(3) = -9 -3 +12 = 0
Como o determinante é zero, esses vetores não formam uma base.
Item (ii):
u = e1 + e2, v = e1 + e3, w = e2 + e3
Montando a matriz:
1 & 1 & 0 1 & 0 & 1 0 & 1 & 1
Calculando o determinante:
det = 1(0 cdot 1 - 1 cdot 1) - 1(1 cdot 1 - 0 cdot 0) + 0(1 cdot 1 - 0 cdot 1) = 1(-1) -1(1) +0 = -1 -1 +0 = -2
O determinante é diferente de zero, então esses vetores formam uma base.
Item (iii):
u = e2, v = e3, w = e1
Montando a matriz:
0 & 0 & 1 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0
Calculando o determinante:
det = 0(0 cdot 0 - 1 cdot 1) - 0(1 cdot 0 - 0 cdot 1) + 1(1 cdot 1 - 0 cdot 0) = 0(-1) -0(0) +1(1) = 0 +0 +1 =1
Como o determinante é diferente de zero, esses vetores formam uma base.
Item (iv):
u = 2e1 + 3e2 + e3, v = -e1 - e2 + e3, w = e2
Montando a matriz:
2 & -1 & 0 3 & -1 & 1 1 & 1 & 0
Calculando o determinante:
det = 2(-1 cdot 0 -1 cdot 1) - (-1)(3 cdot 0 -1 cdot 1) +0(3 cdot1 - (-1) cdot1) = 2(-0 -1) - (-1)(0 -1) +0(dots) = 2(-1) +1 +0 = -2 +1 = -1
O determinante é diferente de zero, então esses vetores formam uma base.

Resposta

i) Não é uma base.
ii) É uma base.
iii) É uma base.
iv) É uma base.

Exercícios relacionados