Seja uma base de . Em cada um dos itens abaixo, decida se é ou não uma base de
(i)
(ii)
(iii)
(iv)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente precisa aqui é verificar se, para cada conjunto de vetores dado, eles formam uma base do espaço tridimensional . Isso envolve dois pontos principais: linearidade independente e geração do espaço. Basicamente, a gente quer saber se os vetores não estão “em cima um do outro” (linearmente independentes) e se eles conseguem alcançar qualquer ponto no espaço (geram o espaço todo). Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear como matrizes e determinantes.

Passo 2

Vamos começar analisando cada conjunto de vetores separadamente.
Item (i):
Para verificar se esses vetores são uma base, vamos montar a matriz com eles e calcular o determinante. Se o determinante for diferente de zero, significa que são linearmente independentes e, portanto, formam uma base.
Matriz:
Calculando o determinante:
Como o determinante é zero, esses vetores não formam uma base.
Item (ii):
Montando a matriz:
Calculando o determinante:
O determinante é diferente de zero, então esses vetores formam uma base.
Item (iii):
Montando a matriz:
Calculando o determinante:
Como o determinante é diferente de zero, esses vetores formam uma base.
Item (iv):
Montando a matriz:
Calculando o determinante:
O determinante é diferente de zero, então esses vetores formam uma base.

Resposta

i) Não é uma base.
ii) É uma base.
iii) É uma base.
iv) É uma base.

Exercícios relacionados

Ex. 3. Verifique as seguintes identidades:
(i)
Sejam e bases do tais que e .
(a) Determine a matriz de mudança de base, da base para a base .
(b) Encontre , se .
Ex. 4. Simplifique as expressões algébricas fracionárias abaixo:
(b) ;
Calcular as coordenadas polares das interseções da reta com os eixos polar e ortogonal, bem como o ângulo que ela faz com o e polar.