Seja uma base de V^3. Em cada um dos itens abaixo, decida se u, v, w é ou não uma base de V^3
(i) u=3 e1+2 e2-e3, v=e1+e2+e3, w=4 e1+3 e2
(ii) u=e1+e2, v=e1+e3, w=e2+e3
(iii) u=e2, v=e3, w=e1
(iv) u=2 e1+3 e2+e3, v=-e1-e2+e3, w=e2
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente precisa aqui é verificar se, para cada conjunto de vetores dado, eles formam uma base do espaço tridimensional . Isso envolve dois pontos principais: linearidade independente e geração do espaço. Basicamente, a gente quer saber se os vetores não estão “em cima um do outro” (linearmente independentes) e se eles conseguem alcançar qualquer ponto no espaço (geram o espaço todo). Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear como matrizes e determinantes.
Passo 2
Vamos começar analisando cada conjunto de vetores separadamente.
Item (i):
u = 3e1 + 2e2 - e3, v = e1 + e2 + e3, w = 4e1 + 3e2
Para verificar se esses vetores são uma base, vamos montar a matriz com eles e calcular o determinante. Se o determinante for diferente de zero, significa que são linearmente independentes e, portanto, formam uma base.