Dar a equação cartesiana correspondente à equação polar rho=4 sen 2 theta. Determine, também, um par de equações paramétricas para essa curva.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa transformar uma equação que está em coordenadas polares para coordenadas cartesianas. A equação que temos é . Para isso, vamos usar umas fórmulas básicas de conversão entre essas duas formas de representar pontos no plano.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar das fórmulas que conectam as coordenadas polares (rho, theta) com as cartesianas (x, y):
Também sabemos que x = rho cos theta e y = rho sen theta . Essas relações vão nos ajudar a transformar a equação.

Passo 3

A equação dada é . Vamos usar a identidade trigonométrica para o seno de um ângulo duplo:
Substituindo essa identidade na equação, temos:

Passo 4

Agora, vamos substituir e sen theta pelas fórmulas em termos de cos theta e x:
Substituindo na equação:
y
Multiplicando ambos os lados por sen theta = yrho e cos theta = xrho para eliminar o denominador:
rho = 8 ( yrho ) ( xrho ) Rightarrow rho = 8xyrho^2
Sabendo que rho^2, podemos substituir rho^3 = 8xy por rho^2 = x^2 + y^2:
rho^3
Mas como rho times rho^2, igualando as duas expressões:
rho (x^2 + y^2) = 8xy Rightarrow rho = 8xyx^2 + y^2
Elevando ambos os lados ao quadrado para simplificar:
rho = raizx^2 + y^2
Multiplicando ambos os lados por raizx^2 + y^2 = 8xyx^2 + y^2 :
x^2 + y^2 = 64x^2y^2(x^2 + y^2)^2
Essa é a equação cartesiana correspondente.

Passo 5

Agora, vamos encontrar um par de equações paramétricas para essa curva. Vamos usar theta como parâmetro:
Usando a identidade , podemos simplificar:

Resposta

A equação cartesiana correspondente é (x^2 + y^2)^3 = 64x^2y^2. Um par de equações paramétricas para essa curva é:

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