Dar a equação cartesiana correspondente à equação polar . Determine, também, um par de equações paramétricas para essa curva.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa transformar uma equação que está em coordenadas polares para coordenadas cartesianas. A equação que temos é . Para isso, vamos usar umas fórmulas básicas de conversão entre essas duas formas de representar pontos no plano.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar das fórmulas que conectam as coordenadas polares com as cartesianas :
Também sabemos que . Essas relações vão nos ajudar a transformar a equação.

Passo 3

A equação dada é . Vamos usar a identidade trigonométrica para o seno de um ângulo duplo:
Substituindo essa identidade na equação, temos:

Passo 4

Agora, vamos substituir e pelas fórmulas em termos de e :
Substituindo na equação:
Multiplicando ambos os lados por para eliminar o denominador:
Sabendo que , podemos substituir por :
Mas como , igualando as duas expressões:
Elevando ambos os lados ao quadrado para simplificar:
Multiplicando ambos os lados por :
Essa é a equação cartesiana correspondente.

Passo 5

Agora, vamos encontrar um par de equações paramétricas para essa curva. Vamos usar como parâmetro:
Usando a identidade , podemos simplificar:

Resposta

A equação cartesiana correspondente é . Um par de equações paramétricas para essa curva é:

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Ex. 4. Simplifique as expressões algébricas fracionárias abaixo:
(b) ;
Estude a dependência linear dos seguintes conjuntos de vetores, com coordenadas dadas em relação a uma base de :
(i)
(ii)
(iii)
(iv)
Ex. 4. Simplifique as expressões algébricas fracionárias abaixo:
(h) ;