Dar a equação cartesiana correspondente à equação polar
. Determine, também, um par de equações paramétricas para essa curva.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa transformar uma equação que está em coordenadas polares para coordenadas cartesianas. A equação que temos é . Para isso, vamos usar umas fórmulas básicas de conversão entre essas duas formas de representar pontos no plano.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar das fórmulas que conectam as coordenadas polares
com as cartesianas
:
Também sabemos que
. Essas relações vão nos ajudar a transformar a equação.
Passo 3
A equação dada é . Vamos usar a identidade trigonométrica para o seno de um ângulo duplo:
Substituindo essa identidade na equação, temos:
Passo 4
Agora, vamos substituir e
pelas fórmulas em termos de
e
:
Substituindo na equação:
Multiplicando ambos os lados por
para eliminar o denominador:
Sabendo que
, podemos substituir
por
:
Mas como
, igualando as duas expressões:
Elevando ambos os lados ao quadrado para simplificar:
Multiplicando ambos os lados por
:
Essa é a equação cartesiana correspondente.
Passo 5
Agora, vamos encontrar um par de equações paramétricas para essa curva. Vamos usar
como parâmetro:
Usando a identidade , podemos simplificar:
Resposta
A equação cartesiana correspondente é
. Um par de equações paramétricas para essa curva é:
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com os eixos polar e ortogonal, bem como o ângulo que ela faz com o e
polar.
Ex. 4. Simplifique as expressões algébricas fracionárias abaixo:
(b) ;
(b)
Estude a dependência linear dos seguintes conjuntos de vetores, com coordenadas dadas em relação a uma base de
:
(i)
(ii)
(iii)
(iv)
(i)
(ii)
(iii)
(iv)
Ex. 4. Simplifique as expressões algébricas fracionárias abaixo:
(h) ;
(h)