Estude a dependência linear dos seguintes conjuntos de vetores, com coordenadas dadas em relação a uma base de V^3 :
(i) (0,0,0)
(ii) (2,1,2),(4,2,3)
(iii) (3,-1,12),(-1, 13,-4)
(iv) (2,1,3),(1,-1,2),(0,1,1)

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício tá pedindo. Precisamos estudar a dependência linear de alguns conjuntos de vetores no espaço V^3. Isso significa que vamos verificar se os vetores no conjunto podem ser escritos como uma combinação linear uns dos outros. Para isso, vamos precisar entender o que é combinação linear e como identificar se os vetores são dependentes ou independentes.

Passo 2

Vamos começar pelo primeiro conjunto:
(i) (0,0,0)
Um conjunto que contém apenas o vetor zero (0,0,0) é sempre linearmente dependente. Isso porque o vetor zero pode ser expresso como uma combinação linear trivial (multiplicando por zero) de qualquer vetor, inclusive ele mesmo.

Passo 3

Agora, vamos para o segundo conjunto:
(ii) (2,1,2), (4,2,3)
Aqui temos dois vetores. Para verificar a dependência linear, vamos ver se um vetor pode ser escrito como múltiplo do outro. Se existir um escalar k tal que:
(4,2,3) = k cdot (2,1,2)
Vamos ver:
4 = 2k Rightarrow k = 2 2 = 1k Rightarrow k = 2 3 = 2k Rightarrow k = 1.5
Os valores de k não são consistentes, então não existe um múltiplo que relacione os dois vetores. Portanto, esses vetores são linearmente independentes.

Passo 4

Seguimos para o terceiro conjunto:
(iii) (3,-1,12), (-1, 13, -4)
Vamos verificar se existe um escalar k tal que:
(-1, 13, -4) = k cdot (3,-1,12)
Analisando as componentes:
-1 = 3k Rightarrow k = -13 13 = -1k Rightarrow k = -13 -4 = 12k Rightarrow k = -13
Aqui, o valor de k é consistente em todas as componentes. Portanto, o segundo vetor é um múltiplo do primeiro, o que significa que os vetores são linearmente dependentes.

Passo 5

Por último, vamos para o quarto conjunto:
(iv) (2,1,3), (1,-1,2), (0,1,1)
Como temos três vetores no espaço V^3, vamos montar uma matriz com esses vetores e calcular seu determinante para verificar a independência linear.
Matriz:
2 & 1 & 0 1 & -1 & 1 3 & 2 & 1
Calculando o determinante:
det = 2 cdot (-1 cdot 1 - 1 cdot 2) - 1 cdot (1 cdot 1 - 3 cdot 2) + 0 cdot (1 cdot 2 - (-1) cdot 3) det = 2 cdot (-1 - 2) - 1 cdot (1 - 6) + 0 cdot (2 + 3) det = 2 cdot (-3) - 1 cdot (-5) + 0 cdot 5 det = -6 + 5 + 0 det = -1
Como o determinante é diferente de zero ( det neq 0), os vetores são linearmente independentes.

Resposta

  • (i) O conjunto é linearmente dependente.
  • (ii) O conjunto é linearmente independente.
  • (iii) O conjunto é linearmente dependente.
  • (iv) O conjunto é linearmente independente.

Exercícios relacionados