Estude a dependência linear dos seguintes conjuntos de vetores, com coordenadas dadas em relação a uma base de :
(i)
(ii)
(iii)
(iv)

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício tá pedindo. Precisamos estudar a dependência linear de alguns conjuntos de vetores no espaço . Isso significa que vamos verificar se os vetores no conjunto podem ser escritos como uma combinação linear uns dos outros. Para isso, vamos precisar entender o que é combinação linear e como identificar se os vetores são dependentes ou independentes.

Passo 2

Vamos começar pelo primeiro conjunto:
(i)
Um conjunto que contém apenas o vetor zero é sempre linearmente dependente. Isso porque o vetor zero pode ser expresso como uma combinação linear trivial (multiplicando por zero) de qualquer vetor, inclusive ele mesmo.

Passo 3

Agora, vamos para o segundo conjunto:
(ii)
Aqui temos dois vetores. Para verificar a dependência linear, vamos ver se um vetor pode ser escrito como múltiplo do outro. Se existir um escalar tal que:
Vamos ver:
Os valores de não são consistentes, então não existe um múltiplo que relacione os dois vetores. Portanto, esses vetores são linearmente independentes.

Passo 4

Seguimos para o terceiro conjunto:
(iii)
Vamos verificar se existe um escalar tal que:
Analisando as componentes:
Aqui, o valor de é consistente em todas as componentes. Portanto, o segundo vetor é um múltiplo do primeiro, o que significa que os vetores são linearmente dependentes.

Passo 5

Por último, vamos para o quarto conjunto:
(iv)
Como temos três vetores no espaço , vamos montar uma matriz com esses vetores e calcular seu determinante para verificar a independência linear.
Matriz:
Calculando o determinante:
Como o determinante é diferente de zero ( ), os vetores são linearmente independentes.

Resposta

  • (i) O conjunto é linearmente dependente.
  • (ii) O conjunto é linearmente independente.
  • (iii) O conjunto é linearmente dependente.
  • (iv) O conjunto é linearmente independente.

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