Calcular d/y d/x onde: y = ln(e^x / (x + 1)) + e^(ln(x^4))

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a derivada de em relação a , onde é dado por:
Vamos usar conceitos de derivadas, logaritmos e exponenciais para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão de para facilitar a derivação. Vamos analisar cada parte:
  1. Simplificando o logaritmo:
Sabemos que , então:
  1. Simplificando o exponencial com logaritmo:
Isso porque .
Agora, substituindo essas simplificações na expressão original de :

Passo 3

Agora que está simplificado, podemos calcular a derivada termo a termo. Lembrando que a derivada de uma soma é a soma das derivadas.
Vamos derivar cada termo:
  1. Derivada de :
  1. Derivada de :
Aqui usamos a regra da cadeia, onde a derivada de é .
  1. Derivada de :
Aplicamos a regra do poder, onde a derivada de é .

Passo 4

Agora, juntamos as derivadas de cada termo:

Resposta

A derivada de em relação a é:

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