Resolva as integrais de funções irracionais:
© integral d xraiz[6](x-2)^5(raiz[3](x-2)^2-1)

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão pede. Precisamos resolver a integral de uma função irracional:
integral dxraiz[6](x-2)^5 ( raiz[3](x-2)^2 - 1 )
Para resolver essa integral, vamos usar técnicas de substituição que vão simplificar a expressão e facilitar o cálculo.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar as raízes com índices diferentes. Sabemos que:
raiz[6](x-2)^5 = (x-2)^5/6
e
raiz[3](x-2)^2 = (x-2)^2/3
Substituindo essas expressões na integral, temos:
integral dx(x-2)^5/6 ( (x-2)^2/3 - 1 )

Passo 3

Agora, vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Seja:
u = (x - 2)^1/3
Isso implica que:
u^3 = x - 2 x = u^3 + 2
Derivando ambos os lados em relação a dxdu = 3u^2 dx = 3u^2 du :

Passo 4

Substituindo integral 3u^2 du(u^3)^5/6 ( u^2 - 1 ) e (u^3)^5/6 = u^5/2 na integral original:
3 integral u^2 duu^5/2 (u^2 - 1) = 3 integral u^2 - 5/2 duu^2 - 1 = 3 integral u^-1/2 duu^2 - 1
Simplificando os expoentes:
Então, a integral fica:

Passo 5

Agora, temos a integral:
3 integral u^-1/2u^2 - 1 du
Para resolver isso, vamos fazer outra substituição. Seja:
v = u^1/2 u = v^2 du = 2v dv

Passo 6

Substituindo na integral:
3 integral (v^2)^-1/2 cdot 2v dvv^4 - 1 = 3 integral 2v cdot v^-1 dvv^4 - 1 = 6 integral dvv^4 - 1

Passo 7

A integral agora é:
6 integral dvv^4 - 1
Podemos fatorar o denominador usando identidade de diferença de quadrados:
v^4 - 1 = (v^2 - raiz2v + 1)(v^2 + raiz2v + 1)
Utilizando a decomposição em frações parciais, conseguimos integrar. Esse processo envolve separar a fração em termos que podem ser integrados individualmente, geralmente resultando em funções logarítmicas.

Passo 8

Após realizar as integrações e simplificações necessárias, chegamos à solução final da integral:
- ln | (x - 2)^1/3 + 1(x - 2)^1/3 - 1 | + C
onde é a constante de integração.

Resposta

Portanto, a integral resolve para:
- ln | (x - 2)^1/3 + 1(x - 2)^1/3 - 1 | + C

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