Vamos começar entendendo o que a questão pede. Precisamos resolver a integral de uma função irracional:
Para resolver essa integral, vamos usar técnicas de substituição que vão simplificar a expressão e facilitar o cálculo.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar as raízes com índices diferentes. Sabemos que:
e
Substituindo essas expressões na integral, temos:
Passo 3
Agora, vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Seja:
Isso implica que:
Derivando ambos os lados em relação a :
Passo 4
Substituindo e na integral original:
Simplificando os expoentes:
Então, a integral fica:
Passo 5
Agora, temos a integral:
Para resolver isso, vamos fazer outra substituição. Seja:
Passo 6
Substituindo na integral:
Passo 7
A integral agora é:
Podemos fatorar o denominador usando identidade de diferença de quadrados:
Utilizando a decomposição em frações parciais, conseguimos integrar. Esse processo envolve separar a fração em termos que podem ser integrados individualmente, geralmente resultando em funções logarítmicas.
Passo 8
Após realizar as integrações e simplificações necessárias, chegamos à solução final da integral: