Calcular pela definiçâo de derivadas as derivadas laterais nos pontos onde a funçâo nâo é derivável. Esboçar o gráfico.

Passo 1

Vamos calcular as derivadas laterais da função nos pontos onde ela não é derivável. A função é dada por:
Para isso, usaremos a definição de derivadas laterais, que nos ajuda a encontrar a taxa de variação da função à esquerda e à direita de um ponto específico. Precisamos identificar onde a função pode não ser derivável, que geralmente ocorre onde a definição da função muda, ou seja, em .

Passo 2

Primeiro, vamos verificar a continuidade da função em . Para a função ser derivável, ela precisa ser contínua nesse ponto.
Calculando os limites:
E . Portanto, a função é contínua em .

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada à esquerda de . Usamos a definição de derivada:
Como está se aproximando de 0 pela esquerda ( ), usamos :
Sabemos que , então:

Passo 4

Agora, vamos calcular a derivada à direita de . Usamos a definição de derivada:
Como está se aproximando de 0 pela direita ( ), usamos . Vamos analisar :
Para próximo de 0 e positivo, , então . Assim:

Resposta

As derivadas laterais de em são:

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