Calcular pela definiçâo de derivadas as derivadas laterais nos pontos onde a funçâo nâo é derivável. Esboçar o gráfico.
Passo 1
Vamos calcular as derivadas laterais da função
nos pontos onde ela não é derivável. A função
é dada por:
Para isso, usaremos a definição de derivadas laterais, que nos ajuda a encontrar a taxa de variação da função à esquerda e à direita de um ponto específico. Precisamos identificar onde a função pode não ser derivável, que geralmente ocorre onde a definição da função muda, ou seja, em
.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar a continuidade da função em
. Para a função ser derivável, ela precisa ser contínua nesse ponto.
Calculando os limites:
E
. Portanto, a função é contínua em
.
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada à esquerda de
. Usamos a definição de derivada:
Como
está se aproximando de 0 pela esquerda (
), usamos
:
Sabemos que
, então:
Passo 4
Agora, vamos calcular a derivada à direita de
. Usamos a definição de derivada:
Como
está se aproximando de 0 pela direita (
), usamos
. Vamos analisar
:
Para
próximo de 0 e positivo,
, então
. Assim:
Resposta
As derivadas laterais de
em
são:
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