Calcule os limites abaixo
Passo 1
Beleza, vamos calcular o limite
. Esse exercício faz parte da matéria de Cálculo, especificamente sobre limites. Para resolver, vamos precisar usar a substituição direta e talvez fatorar expressões algébricas para simplificar.
Passo 2
Primeiro, vamos tentar substituir diretamente
na função para ver o que acontece. Isso é chamado de substituição direta.
Aqui, o denominador dá zero e o numerador dá 40. Quando o denominador se aproxima de zero, precisamos analisar mais a fundo porque a função pode estar tendendo para infinito ou pode ter algum ponto de indeterminação.
Passo 3
Vamos ver se conseguimos simplificar a expressão fatorando o denominador. O objetivo é verificar se o denominador e o numerador têm algum fator comum que possa ser cancelado.
Agora, vamos olhar para o numerador
. Queremos ver se
é um fator disso. Para isso, podemos substituir
no numerador:
Como o resultado não é zero,
não é um fator do numerador. Isso significa que não há um fator comum que possamos cancelar.
Passo 4
Como não conseguimos cancelar nenhum fator, vamos analisar o comportamento da função conforme
se aproxima de 2.
- Numerador: Quando
se aproxima de 2, se aproxima de 40, que é um número positivo. - Denominador:
. Conforme se aproxima de 2, se aproxima de 4 (positivo) e se aproxima de 0. O sinal de determina se o denominador está se aproximando de 0 por valores positivos ou negativos.
Passo 5
Vamos considerar de onde
está se aproximando de 2:
- Pela direita (x > 2):
é positivo, então o denominador se aproxima de 0 positivo. - Pela esquerda (x < 2):
é negativo, então o denominador se aproxima de 0 negativo.
Dado que o numerador é positivo, temos:
- Se
se aproxima de 2 pela direita, a fração tende a . - Se
se aproxima de 2 pela esquerda, a fração tende a .
Como os limites são diferentes pelas duas direções, dizemos que o limite geral não existe, mas podemos especificar que tende ao infinito positivo pela direita e ao infinito negativo pela esquerda.
Resposta
O limite é infinito positivo pela direita e infinito negativo pela esquerda, ou seja:
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