Calcule os limites abaixo

Passo 1

Beleza, vamos calcular o limite . Esse exercício faz parte da matéria de Cálculo, especificamente sobre limites. Para resolver, vamos precisar usar a substituição direta e talvez fatorar expressões algébricas para simplificar.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar substituir diretamente na função para ver o que acontece. Isso é chamado de substituição direta.
Aqui, o denominador dá zero e o numerador dá 40. Quando o denominador se aproxima de zero, precisamos analisar mais a fundo porque a função pode estar tendendo para infinito ou pode ter algum ponto de indeterminação.

Passo 3

Vamos ver se conseguimos simplificar a expressão fatorando o denominador. O objetivo é verificar se o denominador e o numerador têm algum fator comum que possa ser cancelado.
Agora, vamos olhar para o numerador . Queremos ver se é um fator disso. Para isso, podemos substituir no numerador:
Como o resultado não é zero, não é um fator do numerador. Isso significa que não há um fator comum que possamos cancelar.

Passo 4

Como não conseguimos cancelar nenhum fator, vamos analisar o comportamento da função conforme se aproxima de 2.
  • Numerador: Quando se aproxima de 2, se aproxima de 40, que é um número positivo.
  • Denominador: . Conforme se aproxima de 2, se aproxima de 4 (positivo) e se aproxima de 0. O sinal de determina se o denominador está se aproximando de 0 por valores positivos ou negativos.

Passo 5

Vamos considerar de onde está se aproximando de 2:
  • Pela direita (x > 2): é positivo, então o denominador se aproxima de 0 positivo.
  • Pela esquerda (x < 2): é negativo, então o denominador se aproxima de 0 negativo.
Dado que o numerador é positivo, temos:
  • Se se aproxima de 2 pela direita, a fração tende a .
  • Se se aproxima de 2 pela esquerda, a fração tende a .
Como os limites são diferentes pelas duas direções, dizemos que o limite geral não existe, mas podemos especificar que tende ao infinito positivo pela direita e ao infinito negativo pela esquerda.

Resposta

O limite é infinito positivo pela direita e infinito negativo pela esquerda, ou seja:

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