Determine o volume do sólido dado.
24. Limitada pelo cilindro
pelos planos
no primeiro octante
24. Limitada pelo cilindro
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar o volume de um sólido que é limitado por um cilindro dado pela equação
e pelos planos
,
e
no primeiro octante. Isso significa que estamos olhando para a parte do sólido onde todas as coordenadas
,
e
são positivas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é esse cilindro
. Essa equação representa um cilindro circular com raio 2 que se estende infinitamente ao longo do eixo
. No nosso caso, estamos limitando esse cilindro entre
e
, então ele tem comprimento 2.
Passo 3
O próximo passo é visualizar as fronteiras do sólido. Além do cilindro, temos o plano
, que é o plano horizontal. Como estamos no primeiro octante,
,
e
são positivos. Então, nosso sólido está acima do plano
, entre
e
, e dentro do cilindro
.
Passo 4
Para encontrar o volume desse sólido, vamos usar a integral tripla. Em termos simples, isso significa que vamos somar infinitos pequenos “cubos” dentro do sólido para encontrar o volume total. A integral tripla será definida nas variáveis
,
e
.
Passo 5
Vamos estabelecer os limites de integração. Já sabemos que:
-
varia de 0 a 2. - Para cada valor de
, e devem satisfazer e (já que estamos acima do plano ).
Isso significa que, para cada
,
varia de -2 a 2, mas como estamos no primeiro octante (
),
varia de 0 a 2. Já
, para cada
, varia de 0 a
.
Passo 6
Agora, podemos escrever a integral tripla para o volume
:
Primeiro, integramos em relação a
, depois
e finalmente
.
Passo 7
Vamos resolver a integral passo a passo. Começando pela integração em relação a
:
Agora, a integral fica:
Passo 8
A próxima integral é em relação a
. A integral de
de
a
é uma meia área de um círculo de raio 2. A área de um círculo completo é
, então a área de meia é
.
Portanto:
Agora, a integral fica:
Passo 9
Finalmente, integramos em relação a
:
Resposta
O volume do sólido é
unidades cúbicas.
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Calcule os limites abaixo
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Determine o volume do sólido dado.
26. Limitada pelos planos
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