Determine o volume do sólido dado.
24. Limitada pelo cilindro pelos planos no primeiro octante

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar o volume de um sólido que é limitado por um cilindro dado pela equação e pelos planos , e no primeiro octante. Isso significa que estamos olhando para a parte do sólido onde todas as coordenadas , e são positivas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é esse cilindro . Essa equação representa um cilindro circular com raio 2 que se estende infinitamente ao longo do eixo . No nosso caso, estamos limitando esse cilindro entre e , então ele tem comprimento 2.

Passo 3

O próximo passo é visualizar as fronteiras do sólido. Além do cilindro, temos o plano , que é o plano horizontal. Como estamos no primeiro octante, , e são positivos. Então, nosso sólido está acima do plano , entre e , e dentro do cilindro .

Passo 4

Para encontrar o volume desse sólido, vamos usar a integral tripla. Em termos simples, isso significa que vamos somar infinitos pequenos “cubos” dentro do sólido para encontrar o volume total. A integral tripla será definida nas variáveis , e .

Passo 5

Vamos estabelecer os limites de integração. Já sabemos que:
  • varia de 0 a 2.
  • Para cada valor de , e devem satisfazer e (já que estamos acima do plano ).
Isso significa que, para cada , varia de -2 a 2, mas como estamos no primeiro octante ( ), varia de 0 a 2. Já , para cada , varia de 0 a .

Passo 6

Agora, podemos escrever a integral tripla para o volume :
Primeiro, integramos em relação a , depois e finalmente .

Passo 7

Vamos resolver a integral passo a passo. Começando pela integração em relação a :
Agora, a integral fica:

Passo 8

A próxima integral é em relação a . A integral de de a é uma meia área de um círculo de raio 2. A área de um círculo completo é , então a área de meia é .
Portanto:
Agora, a integral fica:

Passo 9

Finalmente, integramos em relação a :

Resposta

O volume do sólido é unidades cúbicas.

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