Calcule os limites abaixo

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! O enunciado pede para calcular:
Aqui, estamos trabalhando com Cálculo de Limites, especificamente utilizando algebras de limites e fatoração de expressões algébricas. Para resolver isso, vamos precisar manipular a expressão para simplificar e encontrar o valor do limite.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para o numerador da fração: . Isso é uma diferença de quadrados, que podemos fatorar usando a fórmula:
Aplicando essa fórmula ao nosso numerador:

Passo 3

Agora, substituímos essa fatoração de volta na expressão original do limite:

Passo 4

Observamos que o denominador é . Para simplificar essa expressão, precisamos que o denominador seja semelhante a algum fator no numerador. No entanto, aqui não há termos iguais para cancelar diretamente. Portanto, precisamos analisar o comportamento do limite dependendo dos valores de e .

Passo 5

Vamos considerar dois casos:
  1. Quando :
    Nesse caso, ao substituir na expressão fatorada:
    Isso nos leva a uma forma indefinida , onde é uma constante não nula. Portanto, o limite tende ao infinito ou menos infinito, dependendo dos sinais de e do denominador.
  2. Quando :
    Substituindo :
    Essa é uma forma indeterminada, então precisamos simplificar mais ou usar outra técnica, como a regra de L’Hospital.

Passo 6

Vamos aplicar a regra de L’Hospital para o caso onde , já que temos uma forma indeterminada .
A regra de L’Hospital diz que se ou , então:
Calculamos as derivadas de e :

Passo 7

Aplicando a regra de L’Hospital:
Portanto, quando , o limite é igual a .

Resposta

Dependendo de e :
  • Se , o limite tende a infinito ou menos infinito.
  • Se , o limite é .

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