Calcule os limites abaixo
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite juntos! O enunciado pede para calcular:
Aqui, estamos trabalhando com Cálculo de Limites, especificamente utilizando algebras de limites e fatoração de expressões algébricas. Para resolver isso, vamos precisar manipular a expressão para simplificar e encontrar o valor do limite.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para o numerador da fração:
. Isso é uma diferença de quadrados, que podemos fatorar usando a fórmula:
Aplicando essa fórmula ao nosso numerador:
Passo 3
Agora, substituímos essa fatoração de volta na expressão original do limite:
Passo 4
Observamos que o denominador é
. Para simplificar essa expressão, precisamos que o denominador seja semelhante a algum fator no numerador. No entanto, aqui não há termos iguais para cancelar diretamente. Portanto, precisamos analisar o comportamento do limite dependendo dos valores de
e
.
Passo 5
Vamos considerar dois casos:
-
Quando
: Nesse caso, ao substituirna expressão fatorada: Isso nos leva a uma forma indefinida, onde é uma constante não nula. Portanto, o limite tende ao infinito ou menos infinito, dependendo dos sinais de e do denominador. -
Quando
: Substituindo: Essa é uma forma indeterminada, então precisamos simplificar mais ou usar outra técnica, como a regra de L’Hospital.
Passo 6
Vamos aplicar a regra de L’Hospital para o caso onde
, já que temos uma forma indeterminada
.
A regra de L’Hospital diz que se
ou
, então:
Calculamos as derivadas de
e
:
Passo 7
Aplicando a regra de L’Hospital:
Portanto, quando
, o limite é igual a
.
Resposta
Dependendo de
e
:
- Se
, o limite tende a infinito ou menos infinito. - Se
, o limite é .
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