Calcule os limites abaixo
lim x x0 x^2-p^2x-x0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! O enunciado pede para calcular:
lim x x0 x^2-p^2x - x0
Aqui, estamos trabalhando com Cálculo de Limites, especificamente utilizando algebras de limites e fatoração de expressões algébricas. Para resolver isso, vamos precisar manipular a expressão para simplificar e encontrar o valor do limite.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para o numerador da fração: a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) . Isso é uma diferença de quadrados, que podemos fatorar usando a fórmula:
x^2 - p^2 = (x - p)(x + p)
Aplicando essa fórmula ao nosso numerador:

Passo 3

Agora, substituímos essa fatoração de volta na expressão original do limite:
lim x x0 (x - p)(x + p)x - x0

Passo 4

Observamos que o denominador é . Para simplificar essa expressão, precisamos que o denominador seja semelhante a algum fator no numerador. No entanto, aqui não há termos iguais para cancelar diretamente. Portanto, precisamos analisar o comportamento do limite dependendo dos valores de e .

Passo 5

Vamos considerar dois casos:
  1. Quando (x0 - p)(x0 + p)x0 - x0 = (x0 - p)(x0 + p)0 :
    Nesse caso, ao substituir (p - p)(p + p)p - x0 = 0 cdot 2p0 = 00 na expressão fatorada:
    Isso nos leva a uma forma indefinida , onde é uma constante não nula. Portanto, o limite tende ao infinito ou menos infinito, dependendo dos sinais de e do denominador.
  2. Quando :
    Substituindo :
    Essa é uma forma indeterminada, então precisamos simplificar mais ou usar outra técnica, como a regra de L’Hospital.

Passo 6

Vamos aplicar a regra de L’Hospital para o caso onde limx to a f(x)g(x) = limx to a f'(x)g'(x) , já que temos uma forma indeterminada f'(x) = 2x .
A regra de L’Hospital diz que se g'(x) = 1 ou , então:
Calculamos as derivadas de e :

Passo 7

Aplicando a regra de L’Hospital:
limx p 2x1 = 2p
Portanto, quando , o limite é igual a .

Resposta

Dependendo de e :
  • Se , o limite tende a infinito ou menos infinito.
  • Se , o limite é .

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