Calcular pela definiçâo de derivadas as derivadas laterais nos pontos onde a funçâo nâo é derivável. Esboçar o gráfico.
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para calcular as derivadas laterais no ponto onde a função não é derivável e esboçar o gráfico da função. A função dada é definida por partes:
Para encontrar as derivadas laterais em
, vamos utilizar a definição de derivada, que envolve calcular o limite da função quando
tende a zero pela esquerda e pela direita.
Passo 2
Derivada Lateral Esquerda em
:
Usamos a parte da função para
:
A definição de derivada é:
Calculando
:
Substituindo na expressão da derivada:
Simplificando:
Passo 3
Derivada Lateral Direita em
:
Usamos a parte da função para
:
A definição de derivada é:
Calculando
usando a primeira parte da função (já que
):
Substituindo na expressão da derivada:
Simplificando:
Simplificando mais:
Passo 4
Comparando as derivadas laterais:
Como as derivadas laterais são iguais, a função
é derivável em
.
Resposta
As derivadas laterais no ponto
são iguais a 4, indicando que a função é derivável nesse ponto. O gráfico da função apresenta uma curva contínua e suave em
, sem cantos ou descontinuidades.
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