Calcular pela definiçâo de derivadas as derivadas laterais nos pontos onde a funçâo nâo é derivável. Esboçar o gráfico.

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para calcular as derivadas laterais no ponto onde a função não é derivável e esboçar o gráfico da função. A função dada é definida por partes:
Para encontrar as derivadas laterais em , vamos utilizar a definição de derivada, que envolve calcular o limite da função quando tende a zero pela esquerda e pela direita.

Passo 2

Derivada Lateral Esquerda em :
Usamos a parte da função para :
A definição de derivada é:
Calculando :
Substituindo na expressão da derivada:
Simplificando:

Passo 3

Derivada Lateral Direita em :
Usamos a parte da função para :
A definição de derivada é:
Calculando usando a primeira parte da função (já que ):
Substituindo na expressão da derivada:
Simplificando:
Simplificando mais:

Passo 4

Comparando as derivadas laterais:
Como as derivadas laterais são iguais, a função é derivável em .

Resposta

As derivadas laterais no ponto são iguais a 4, indicando que a função é derivável nesse ponto. O gráfico da função apresenta uma curva contínua e suave em , sem cantos ou descontinuidades.

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