Calcule os limites abaixo
Faça a substituição raiz[6]x=y para resolver o limite
lim x 64 raizx-8raiz[3]x-4

Passo 1

Beleza, vamos resolver o limite . Esse exercício envolve o cálculo de limites, um tópico fundamental no cálculo. Para facilitar, vamos usar uma substituição sugerida: . Isso vai nos ajudar a simplificar as raízes que aparecem na expressão.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer a substituição limx 64 raizx-8raiz[3]x-4 = limy raiz[6]64 raizy^6 - 8raiz[3]y^6 - 4 . Isso significa que . Agora, vamos substituir por na expressão original do limite:

Passo 3

Vamos simplificar as raízes na expressão. Sabemos que:
raizy^6 = y^6 times 12 = y^3
raiz[3]y^6 = y^6 times 13 = y^2
Então, a expressão fica:
limy raiz[6]64 y^3 - 8y^2 - 4

Passo 4

Agora, vamos calcular raiz[6]64 = raiz[6]2^6 = 2 . Sabemos que limy 2 y^3 - 8y^2 - 4 , então:
Portanto, o limite agora é:

Passo 5

Observamos que tanto o numerador quanto o denominador se anulam quando y^3 - 8 = 2^3 - 8 = 8 - 8 = 0 :
y^2 - 4 = 2^2 - 4 = 4 - 4 = 0
Isso significa que temos uma indeterminação do tipo . Para resolver, vamos fatorar o numerador e o denominador.

Passo 6

Fatorando y^3 - 8 = (y - 2)(y^2 + 2y + 4) , reconhecemos que é uma diferença de cubos:
y^2 - 4 = (y - 2)(y + 2)
Fatorando limy 2 (y - 2)(y^2 + 2y + 4)(y - 2)(y + 2) , é uma diferença de quadrados:
Então, a expressão fica:

Passo 7

Agora, podemos simplificar limy 2 y^2 + 2y + 4y + 2 do numerador e do denominador:

Passo 8

Com a expressão simplificada, substituímos 2^2 + 2 times 2 + 42 + 2 = 4 + 4 + 44 = 124 = 3 :

Resposta

O limite é igual a 3.

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