Determine o volume do sólido dado.
26. Limitada pelos planos y=0, z=0, y=x e 6x + 2y + 3z = 6

Passo 1

Beleza, então o que a gente tem aqui é um problema de geometria espacial onde precisamos encontrar o volume de um sólido limitado por quatro planos: , , e . Vamos usar o cálculo de integrais múltiplas para resolver isso, especificamente uma integral tripla, porque estamos lidando com três dimensões (x, y e z).

Passo 2

Primeiro, vamos entender os limites das variáveis. Sabemos que varia de 0 a porque está limitado pelos planos e . Além disso, varia de 0 até a expressão que obtemos isolando na equação do plano :
Então, varia de 0 a .

Passo 3

Agora, precisamos determinar os limites para . Observando a interseção dos planos, quando e , a equação nos dá . Portanto, varia de 0 a 1.

Passo 4

Com todos os limites definidos, podemos montar a integral tripla para calcular o volume:

Passo 5

Vamos resolver a integral mais interna primeiro, que é em relação a :

Passo 6

Agora, substituímos esse resultado na integral do meio e integramos em relação a :
Calculando cada parte:
Somando tudo:

Passo 7

Por fim, integramos em relação a :
Calculando cada parte:
Então:

Resposta

O volume do sólido é unidades cúbicas.

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