Determine o volume do sólido dado.
26. Limitada pelos planos
26. Limitada pelos planos
Passo 1
Beleza, então o que a gente tem aqui é um problema de geometria espacial onde precisamos encontrar o volume de um sólido limitado por quatro planos:
,
,
e
. Vamos usar o cálculo de integrais múltiplas para resolver isso, especificamente uma integral tripla, porque estamos lidando com três dimensões (x, y e z).
Passo 2
Primeiro, vamos entender os limites das variáveis. Sabemos que
varia de 0 a
porque está limitado pelos planos
e
. Além disso,
varia de 0 até a expressão que obtemos isolando
na equação do plano
:
Então,
varia de 0 a
.
Passo 3
Agora, precisamos determinar os limites para
. Observando a interseção dos planos, quando
e
, a equação
nos dá
. Portanto,
varia de 0 a 1.
Passo 4
Com todos os limites definidos, podemos montar a integral tripla para calcular o volume:
Passo 5
Vamos resolver a integral mais interna primeiro, que é em relação a
:
Passo 6
Agora, substituímos esse resultado na integral do meio e integramos em relação a
:
Calculando cada parte:
Somando tudo:
Passo 7
Por fim, integramos em relação a
:
Calculando cada parte:
Então:
Resposta
O volume do sólido é
unidades cúbicas.
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Calcule os limites abaixo