Calcule os limites abaixo
lim x x0 x^n-p^nx^m-p^m

Passo 1

Vamos resolver o limite . Este exercício envolve cálculo de limites, especificamente lidando com expressões que resultam em uma forma indeterminada . Para resolver, vamos precisar utilizar a Regra de L’Hospital, que é uma ferramenta poderosa para encontrar limites quando temos esse tipo de indeterminação.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar o que acontece substituindo p^n - p^np^m - p^m = 00 diretamente na expressão:
Como obtivemos uma forma indeterminada , não podemos concluir o limite diretamente. É aqui que entra a Regra de L’Hospital, que nos permite derivar o numerador e o denominador separadamente para resolver esse tipo de limite.

Passo 3

Aplicando a Regra de L’Hospital, vamos derivar o numerador e o denominador em relação a ddx(x^n - p^n) = n x^n-1 :
  • Derivada do numerador ddx(x^m - p^m) = m x^m-1 em relação a :
  • Derivada do denominador em relação a :

Passo 4

Agora, substituímos as derivadas na expressão do limite:
limx p n x^n-1m x^m-1
Podemos simplificar essa expressão dividindo os coeficientes nm cdot x^n-1x^m-1 = nm cdot x^n - m e e simplificando as potências de :

Passo 5

Finalmente, substituímos nm cdot p^n - m na expressão simplificada para encontrar o valor do limite:

Resposta

O limite é .

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