Seja
um sólido esférico de raio
. A temperatura em cada ponto no interior do sólido é proporcional a distância do ponto até a superfície da esfera. Utilizando coordenadas cartesianas, determine a função escalar que define a temperatura e, em seguida, a função vetorial que determina o campo de temperatura.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão tá pedindo. Temos uma esfera com raio
, e a temperatura dentro dela é proporcional à distância de cada ponto até a superfície. Nosso objetivo é encontrar:
- A função escalar que descreve a temperatura em cada ponto dentro da esfera usando coordenadas cartesianas.
- A função vetorial que representa o campo de temperatura.
Para resolver isso, vamos precisar saber como calcular distâncias em coordenadas cartesianas e entender o que significa a temperatura ser proporcional a essa distância.
Passo 2
Primeiro, vamos pensar na distância de um ponto qualquer
até a superfície da esfera. A distância do ponto até o centro da esfera é dada pela fórmula da distância euclidiana:
Como o raio da esfera é
, a distância do ponto até a superfície da esfera é:
Isso porque a distância até a superfície é o raio total menos a distância até o centro.
Passo 3
Agora, como a temperatura
é proporcional a essa distância
, podemos escrever:
Onde
é a constante de proporcionalidade. Então, substituindo
:
Essa é a função escalar que define a temperatura no interior da esfera.
Passo 4
Para encontrar o campo de temperatura, que é a função vetorial associada à temperatura, precisamos calcular o gradiente da função escalar
. O gradiente nos dá a direção e a taxa de maior variação da temperatura.
O gradiente
é dado por:
Vamos calcular cada derivada parcial.
Passo 5
Calculando a derivada parcial de
em relação a
:
De maneira similar, para
e
:
Passo 6
Juntando tudo, o campo de temperatura
é:
Resposta
A função escalar que define a temperatura no interior da esfera é:
E o campo de temperatura, representado pela função vetorial, é:
Exercícios relacionados
Represente graficamente os campos vetoriais.
Represente graficamente os campos vetoriais.
Represente graficamente os campos vetoriais.
Calcular a derivada direcional dos campos escalares, no ponto e direção indicados:
na direção de