Seja um sólido esférico de raio . A temperatura em cada ponto no interior do sólido é proporcional a distância do ponto até a superfície da esfera. Utilizando coordenadas cartesianas, determine a função escalar que define a temperatura e, em seguida, a função vetorial que determina o campo de temperatura.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão tá pedindo. Temos uma esfera com raio , e a temperatura dentro dela é proporcional à distância de cada ponto até a superfície. Nosso objetivo é encontrar:
  1. A função escalar que descreve a temperatura em cada ponto dentro da esfera usando coordenadas cartesianas.
  2. A função vetorial que representa o campo de temperatura.
Para resolver isso, vamos precisar saber como calcular distâncias em coordenadas cartesianas e entender o que significa a temperatura ser proporcional a essa distância.

Passo 2

Primeiro, vamos pensar na distância de um ponto qualquer até a superfície da esfera. A distância do ponto até o centro da esfera é dada pela fórmula da distância euclidiana:
Como o raio da esfera é , a distância do ponto até a superfície da esfera é:
í
Isso porque a distância até a superfície é o raio total menos a distância até o centro.

Passo 3

Agora, como a temperatura é proporcional a essa distância í, podemos escrever:
í
Onde é a constante de proporcionalidade. Então, substituindo í:
Essa é a função escalar que define a temperatura no interior da esfera.

Passo 4

Para encontrar o campo de temperatura, que é a função vetorial associada à temperatura, precisamos calcular o gradiente da função escalar . O gradiente nos dá a direção e a taxa de maior variação da temperatura.
O gradiente é dado por:
Vamos calcular cada derivada parcial.

Passo 5

Calculando a derivada parcial de em relação a :
De maneira similar, para e :

Passo 6

Juntando tudo, o campo de temperatura é:

Resposta

A função escalar que define a temperatura no interior da esfera é:
E o campo de temperatura, representado pela função vetorial, é:

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