Calcular a derivada direcional máxima da função
no ponto
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a derivada direcional máxima da função
no ponto
. Vamos precisar usar conceitos de cálculo de derivadas parciais e vetores gradientes para achar essa derivada máxima.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a função
. Sabemos que:
Isso facilita o cálculo das derivadas parciais.
Passo 3
Agora, vamos encontrar as derivadas parciais de
em relação a
e
. A derivada parcial em relação a
é:
E a derivada parcial em relação a
é:
Passo 4
No ponto
, vamos calcular
e
:
Passo 5
O vetor gradiente de
no ponto
é:
A derivada direcional máxima é igual ao módulo do vetor gradiente. Vamos calcular esse módulo:
Resposta
A derivada direcional máxima da função no ponto
é
.
Exercícios relacionados
Encontre a série de Taylor de
centrada em
dada nos itens:
© .)
©
Dada a funçāo
, calcular a derivada
.
Mostrar que o valor máximo e o valor mínimo da função
no disco fechado
ocorrem em pontos da fronteira desse disco. Calcular esses valores extremos. Resp.: O máximo é 1 e ocorre nos pontos
e (
); o mínimo é -1 e ocorre nos pontos
e
.
No plano, referido a um sistema de coordenadas cartesianas, determinar o ponto M para o qual é mínima a soma dos quadrados de suas distâncias às três retas:
e
.
Resp.:
Resp.: