Calcular a derivada direcional máxima da função f(x, y) = ln(raiz(x^2 + y^2)) no ponto p = (3, 4).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a derivada direcional máxima da função no ponto . Vamos precisar usar conceitos de cálculo de derivadas parciais e vetores gradientes para achar essa derivada máxima.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a função . Sabemos que:
Isso facilita o cálculo das derivadas parciais.

Passo 3

Agora, vamos encontrar as derivadas parciais de em relação a e . A derivada parcial em relação a é:
E a derivada parcial em relação a é:

Passo 4

No ponto , vamos calcular e :

Passo 5

O vetor gradiente de no ponto é:
A derivada direcional máxima é igual ao módulo do vetor gradiente. Vamos calcular esse módulo:

Resposta

A derivada direcional máxima da função no ponto é .

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