Calcular a derivada direcional máxima da função no ponto .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a derivada direcional máxima da função no ponto . Vamos precisar usar conceitos de cálculo de derivadas parciais e vetores gradientes para achar essa derivada máxima.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a função . Sabemos que:
Isso facilita o cálculo das derivadas parciais.

Passo 3

Agora, vamos encontrar as derivadas parciais de em relação a e . A derivada parcial em relação a é:
E a derivada parcial em relação a é:

Passo 4

No ponto , vamos calcular e :

Passo 5

O vetor gradiente de no ponto é:
A derivada direcional máxima é igual ao módulo do vetor gradiente. Vamos calcular esse módulo:

Resposta

A derivada direcional máxima da função no ponto é .

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© .)
Dada a funçāo , calcular a derivada .
Mostrar que o valor máximo e o valor mínimo da função no disco fechado ocorrem em pontos da fronteira desse disco. Calcular esses valores extremos. Resp.: O máximo é 1 e ocorre nos pontos e ( ); o mínimo é -1 e ocorre nos pontos
e .
No plano, referido a um sistema de coordenadas cartesianas, determinar o ponto M para o qual é mínima a soma dos quadrados de suas distâncias às três retas: e .
Resp.: