Encontre a série de Taylor de f(x) centrada em a dada nos itens:
© f(x)=e^2 x em a=3 (f(x)=sumn=0^infty 2^n e^6n!(x-3)^n.)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a série de Taylor da função centrada em . Isso está dentro do conteúdo de séries de Taylor, que é uma maneira de aproximar funções usando polinômios. Pra resolver isso, vamos precisar lembrar como construir a série de Taylor e aplicar isso à função dada.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a série de Taylor. A série de Taylor de uma função f(x) = sumn=0^infty f^(n)(a)n! (x - a)^n centrada em é dada por:
Aqui, representa a n-ésima derivada de avaliada em , e é o fatorial de .

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas de . A boa notícia é que derivar é bem tranquilo:
  • A primeira derivada é
  • A segunda derivada é
  • De modo geral, a n-ésima derivada é

Passo 4

Agora que temos a expressão para a n-ésima derivada, vamos avaliá-la em f^(n)(3) = 2^n e^2 times 3 = 2^n e^6 :

Passo 5

Substituindo tudo isso na fórmula da série de Taylor, temos:
f(x) = sumn=0^infty 2^n e^6n! (x - 3)^n
Isso significa que estamos expandindo em torno de usando potências de .

Resposta

A série de Taylor de f(x) = sumn=0^infty 2^n e^6n! (x - 3)^n centrada em é:

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