Encontre a série de Taylor de centrada em dada nos itens:
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Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a série de Taylor da função centrada em . Isso está dentro do conteúdo de séries de Taylor, que é uma maneira de aproximar funções usando polinômios. Pra resolver isso, vamos precisar lembrar como construir a série de Taylor e aplicar isso à função dada.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a série de Taylor. A série de Taylor de uma função centrada em é dada por:
Aqui, representa a n-ésima derivada de avaliada em , e é o fatorial de .

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas de . A boa notícia é que derivar é bem tranquilo:
  • A primeira derivada é
  • A segunda derivada é
  • De modo geral, a n-ésima derivada é

Passo 4

Agora que temos a expressão para a n-ésima derivada, vamos avaliá-la em :

Passo 5

Substituindo tudo isso na fórmula da série de Taylor, temos:
Isso significa que estamos expandindo em torno de usando potências de .

Resposta

A série de Taylor de centrada em é:

Exercícios relacionados

Dada a funçāo , calcular a derivada .
mostrar que as seguintes funçōes são harmônicas:
b)
Calcular a derivada direcional máxima da função no ponto .
Mostrar que o valor máximo e o valor mínimo da função no disco fechado ocorrem em pontos da fronteira desse disco. Calcular esses valores extremos. Resp.: O máximo é 1 e ocorre nos pontos e ( ); o mínimo é -1 e ocorre nos pontos
e .