Encontre a série de Taylor de
centrada em
dada nos itens:
©
.)
©
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a série de Taylor da função
centrada em
. Isso está dentro do conteúdo de séries de Taylor, que é uma maneira de aproximar funções usando polinômios. Pra resolver isso, vamos precisar lembrar como construir a série de Taylor e aplicar isso à função dada.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a série de Taylor. A série de Taylor de uma função
centrada em
é dada por:
Aqui,
representa a n-ésima derivada de
avaliada em
, e
é o fatorial de
.
Passo 3
Agora, vamos calcular as derivadas de
. A boa notícia é que derivar
é bem tranquilo:
- A primeira derivada é
- A segunda derivada é
- De modo geral, a n-ésima derivada é
Passo 4
Agora que temos a expressão para a n-ésima derivada, vamos avaliá-la em
:
Passo 5
Substituindo tudo isso na fórmula da série de Taylor, temos:
Isso significa que estamos expandindo
em torno de
usando potências de
.
Resposta
A série de Taylor de
centrada em
é:
Exercícios relacionados
Dada a funçāo
, calcular a derivada
.
mostrar que as seguintes funçōes são harmônicas:
b)
b)
Calcular a derivada direcional máxima da função
no ponto
.
Mostrar que o valor máximo e o valor mínimo da função
no disco fechado
ocorrem em pontos da fronteira desse disco. Calcular esses valores extremos. Resp.: O máximo é 1 e ocorre nos pontos
e (
); o mínimo é -1 e ocorre nos pontos
e
.