Calcular a derivada da função dada a partir da definição (use:
).
Passo 1
Beleza, vamos resolver a derivada da função
usando a definição de derivada. Isso envolve calcular o limite da diferença quando
tende a zero. Vamos precisar entender um pouco sobre o que é derivada e como aplicar a definição usando limites.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a definição de derivada:
Aqui,
é a derivada da função
no ponto
.
Passo 3
Vamos aplicar isso à nossa função
. Vamos substituir
por
e
:
Passo 4
Agora, vamos calcular a diferença
:
Para simplificar, vamos encontrar um denominador comum e subtrair as frações.
Passo 5
Multiplicando cruzado, temos:
Agora, expandimos os termos do numerador.
Passo 6
Expandindo os quadrados:
Substituindo de volta:
Passo 7
Distribuindo os termos no numerador:
Passo 8
Simplificando os termos:
Muitos termos se cancelam, restando:
Muitos termos se cancelam, restando:
Parece que algo deu errado na simplificação; vamos considerar uma abordagem diferente.
Passo 9
Vamos reescrever a diferença usando uma aproximação para
pequeno:
Como a simplificação direta ficou complicada, vamos usar a regra de derivação para quocientes:
Passo 10
Sabemos que se
, então:
Aqui,
e
.
Passo 11
Calculando as derivadas de
e
:
Passo 12
Substituindo na fórmula da derivada:
Simplificando o numerador:
Resposta
A derivada da função é
.
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Calcular a derivada da função dada a partir da definição (use:
).
Esboce o gráfico das funçõs abaixo justificando cada etapa:
Usando todas as regras de derivação, derive as seguintes funçõs:
Encontrar as derivadas superiores
das seguintes funções: