Calcular a derivada da função dada a partir da definição (use: ).

Passo 1

Beleza, vamos resolver a derivada da função usando a definição de derivada. Isso envolve calcular o limite da diferença quando tende a zero. Vamos precisar entender um pouco sobre o que é derivada e como aplicar a definição usando limites.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a definição de derivada:
Aqui, é a derivada da função no ponto .

Passo 3

Vamos aplicar isso à nossa função . Vamos substituir por e :

Passo 4

Agora, vamos calcular a diferença :
Para simplificar, vamos encontrar um denominador comum e subtrair as frações.

Passo 5

Multiplicando cruzado, temos:
Agora, expandimos os termos do numerador.

Passo 6

Expandindo os quadrados:
Substituindo de volta:

Passo 7

Distribuindo os termos no numerador:

Passo 8

Simplificando os termos:
Muitos termos se cancelam, restando:
Parece que algo deu errado na simplificação; vamos considerar uma abordagem diferente.

Passo 9

Vamos reescrever a diferença usando uma aproximação para pequeno:
Como a simplificação direta ficou complicada, vamos usar a regra de derivação para quocientes:

Passo 10

Sabemos que se , então:
Aqui, e .

Passo 11

Calculando as derivadas de e :

Passo 12

Substituindo na fórmula da derivada:
Simplificando o numerador:

Resposta

A derivada da função é .

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