Esboce o gráfico das funçõs abaixo justificando cada etapa:
Passo 1
Beleza, vamos esboçar o gráfico da função
. Para isso, vamos usar conceitos de funções polinomiais, como interceptos, derivadas para encontrar pontos críticos e o comportamento da função no infinito. Vamos precisar identificar onde a função cruza os eixos, seus pontos máximos e mínimos, e como ela se comporta quando
vai para
.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o intercepto com o eixo
. Isso acontece quando
. Substituindo na função:
Então, o intercepto com o eixo
é
.
Passo 3
Agora, vamos encontrar os interceptos com o eixo
. Para isso, resolvemos
:
Essa equação é um pouco complicada para resolver diretamente, então vamos tentar fatorar ou usar métodos numéricos. Vamos tentar fatorar por agrupamento:
Ainda não está fácil, então podemos tentar pelo método da tentativa e erro ou usar a fórmula quadrática para
:
Simplificando:
Portanto, os interceptos com o eixo
são aproximadamente
e
.
Passo 4
Vamos agora encontrar as derivadas da função para identificar os pontos críticos, onde a inclinação da curva é zero (máximos e mínimos). A primeira derivada é:
Para encontrar os pontos críticos, resolvemos
:
Factorando:
Então:
Resolvendo a equação quadrática:
Então,
e
Portanto, os pontos críticos estão em .
Portanto, os pontos críticos estão em
Passo 5
Vamos determinar se esses pontos críticos são máximos ou mínimos usando a segunda derivada:
Avaliar
nos pontos críticos:
- Em
:
Como
, temos um mínimo local.
- Em
:
Como
, temos um máximo local.
- Em
:
Como
, temos um mínimo local.
Passo 6
Vamos analisar o comportamento da função quando
tende para
. Como o termo de maior grau é
, e o coeficiente é positivo, sabemos que:
- Quando
, - Quando
,
Isso significa que a função sobe para ambos os lados do gráfico.
Passo 7
Com todas essas informações, podemos esboçar o gráfico:
- A função cruza o eixo
em e os eixos em aproximadamente e . - Tem um mínimo local em
, um máximo local em e outro mínimo local em . - A função sobe para
.
Resposta
O gráfico de
possui interceptos em
e aproximadamente em
e
. Apresenta um mínimo local em
, um máximo local em
e outro mínimo local em
. Além disso, a função tende ao infinito quando
vai para
. Com base nisso, o esboço do gráfico reflete esses pontos e comportamentos.
Exercícios relacionados
Usando a regra de derivação implícita, encontrar
em termos de
e
:
Encontrar as derivadas superiores
das seguintes funções:
Calcular a derivada da função dada a partir da definição (use:
).
Calcular a derivada da função dada a partir da definição (use:
).