Esboce o gráfico das funçõs abaixo justificando cada etapa:

Passo 1

Beleza, vamos esboçar o gráfico da função . Para isso, vamos usar conceitos de funções polinomiais, como interceptos, derivadas para encontrar pontos críticos e o comportamento da função no infinito. Vamos precisar identificar onde a função cruza os eixos, seus pontos máximos e mínimos, e como ela se comporta quando vai para .

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o intercepto com o eixo . Isso acontece quando . Substituindo na função:
Então, o intercepto com o eixo é .

Passo 3

Agora, vamos encontrar os interceptos com o eixo . Para isso, resolvemos :
Essa equação é um pouco complicada para resolver diretamente, então vamos tentar fatorar ou usar métodos numéricos. Vamos tentar fatorar por agrupamento:
Ainda não está fácil, então podemos tentar pelo método da tentativa e erro ou usar a fórmula quadrática para :
Simplificando:
Portanto, os interceptos com o eixo são aproximadamente e .

Passo 4

Vamos agora encontrar as derivadas da função para identificar os pontos críticos, onde a inclinação da curva é zero (máximos e mínimos). A primeira derivada é:
Para encontrar os pontos críticos, resolvemos :
Factorando:
Então:
ou
Resolvendo a equação quadrática:
Então, e
Portanto, os pontos críticos estão em .

Passo 5

Vamos determinar se esses pontos críticos são máximos ou mínimos usando a segunda derivada:
Avaliar nos pontos críticos:
  • Em :
Como , temos um mínimo local.
  • Em :
Como , temos um máximo local.
  • Em :
Como , temos um mínimo local.

Passo 6

Vamos analisar o comportamento da função quando tende para . Como o termo de maior grau é , e o coeficiente é positivo, sabemos que:
  • Quando ,
  • Quando ,
    Isso significa que a função sobe para ambos os lados do gráfico.

Passo 7

Com todas essas informações, podemos esboçar o gráfico:
  • A função cruza o eixo em e os eixos em aproximadamente e .
  • Tem um mínimo local em , um máximo local em e outro mínimo local em .
  • A função sobe para .

Resposta

O gráfico de possui interceptos em e aproximadamente em e . Apresenta um mínimo local em , um máximo local em e outro mínimo local em . Além disso, a função tende ao infinito quando vai para . Com base nisso, o esboço do gráfico reflete esses pontos e comportamentos.

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Usando a regra de derivação implícita, encontrar em termos de e :
Encontrar as derivadas superiores das seguintes funções:
Calcular a derivada da função dada a partir da definição (use: ).
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