Encontrar as derivadas superiores
das seguintes funções:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar as derivadas de primeira, segunda e terceira ordem da função
. Isso faz parte do estudo de derivadas em cálculo, onde vamos precisar aplicar a regra do produto e a regra da cadeia para encontrar as derivadas sucessivas.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a função para facilitar a derivação. Sabemos que
pode ser escrita como
. Então, nossa função fica:
Passo 3
Agora, aplicamos a regra do produto, que é usada quando temos uma função que é o produto de duas funções. A regra diz que se
, então a derivada
.
Aqui,
e
. Vamos encontrar as derivadas de
e
:
Passo 4
Aplicando a regra do produto:
Vamos simplificar cada termo:
Somando tudo:
Passo 5
Agora, vamos encontrar a segunda derivada
. Vamos derivar
novamente. Primeiro, reescrevemos
de forma mais clara:
Aplicamos a regra da potência, que diz que
:
Passo 6
Por fim, vamos calcular a terceira derivada
derivando
:
Novamente, aplicamos a regra da potência:
Resposta
As derivadas superiores são:
Exercícios relacionados
Usando todas as regras de derivação, derive as seguintes funçõs:
Calcular a derivada da função dada a partir da definição (use:
).
Encontrar as derivadas superiores
das seguintes funções:
Usando a regra de derivação implícita, encontrar
em termos de
e
: