Encontrar as derivadas superiores y', y'', y''' das seguintes funções:
y = (x^2 + 3) * raiz(x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar as derivadas de primeira, segunda e terceira ordem da função . Isso faz parte do estudo de derivadas em cálculo, onde vamos precisar aplicar a regra do produto e a regra da cadeia para encontrar as derivadas sucessivas.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a função para facilitar a derivação. Sabemos que pode ser escrita como . Então, nossa função fica:

Passo 3

Agora, aplicamos a regra do produto, que é usada quando temos uma função que é o produto de duas funções. A regra diz que se , então a derivada .
Aqui, e . Vamos encontrar as derivadas de e :

Passo 4

Aplicando a regra do produto:
Vamos simplificar cada termo:
Somando tudo:

Passo 5

Agora, vamos encontrar a segunda derivada . Vamos derivar novamente. Primeiro, reescrevemos de forma mais clara:
Aplicamos a regra da potência, que diz que :

Passo 6

Por fim, vamos calcular a terceira derivada derivando :
Novamente, aplicamos a regra da potência:

Resposta

As derivadas superiores são:

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