Calcular a derivada da função, onde ela existir, nos seguintes casos:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a derivada da função
, onde ela existir. Aqui, vamos mexer com cálculo diferencial, mais especificamente com derivadas de funções onde a base e o expoente são funções de
. Para resolver isso, vamos precisar usar a diferenciação logarítmica, que ajuda quando temos potências onde ambas as partes dependem de
.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar o logaritmo natural em ambos os lados da equação para facilitar a derivação. Assim:
Passo 3
Usando a propriedade dos logaritmos que diz
, podemos simplificar o lado direito:
Passo 4
Agora, vamos derivar ambos os lados em relação a
. Lembrando que a derivada de
em relação a
é
. Então:
Passo 5
Para derivar o lado direito, usamos a regra do produto, que diz que
, onde
e
.
Primeiro, derivamos
:
Agora, derivamos
. Para isso, usamos a regra da cadeia:
Passo 6
Aplicando a regra do produto:
Passo 7
Agora, isolamos
multiplicando ambos os lados por
:
Resposta
A derivada da função é
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Determine a derivada usando a Regra da Cadeia.
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