Calcular a derivada da função, onde ela existir, nos seguintes casos:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a derivada da função , onde ela existir. Aqui, vamos mexer com cálculo diferencial, mais especificamente com derivadas de funções onde a base e o expoente são funções de . Para resolver isso, vamos precisar usar a diferenciação logarítmica, que ajuda quando temos potências onde ambas as partes dependem de .

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar o logaritmo natural em ambos os lados da equação para facilitar a derivação. Assim:

Passo 3

Usando a propriedade dos logaritmos que diz , podemos simplificar o lado direito:

Passo 4

Agora, vamos derivar ambos os lados em relação a . Lembrando que a derivada de em relação a é . Então:

Passo 5

Para derivar o lado direito, usamos a regra do produto, que diz que , onde e .
Primeiro, derivamos :
Agora, derivamos . Para isso, usamos a regra da cadeia:

Passo 6

Aplicando a regra do produto:

Passo 7

Agora, isolamos multiplicando ambos os lados por :

Resposta

A derivada da função é

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Determine a derivada usando a Regra da Cadeia.
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