Seja f(x) = e^(-x) sen x. Calcule f^(2001)(0).

Passo 1

Vamos lá! O enunciado nos pede para calcular a ª derivada da função no ponto x = 0. Para resolver isso, vamos usar conceitos de derivadas de funções exponenciais e trigonométricas, além de alguns truques com números complexos. Vamos precisar entender como derivar funções compostas e aplicar fórmulas de derivadas de alta ordem.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função f(x) usando exponenciais complexas. Sabemos que pode ser expressa como:
Portanto, podemos escrever f(x) como:
Isso simplifica nossa função para uma combinação de exponenciais complexas.

Passo 3

Agora, para encontrar a n-ésima derivada de f(x), usamos a regra de derivação para exponenciais. A derivada n-ésima de é . Aplicando isso, temos:
Queremos avaliar essa derivada em x = 0, então substituímos x por 0:

Passo 4

Para simplificar ainda mais, vamos representar e na forma polar. Sabemos que:
Elevando esses termos à potência n, temos:

Passo 5

Substituindo de volta na expressão da derivada:
Reconhecemos que , então:

Passo 6

Agora, vamos substituir na expressão:
Simplificando o argumento do seno:
Como o seno tem período , podemos reduzir esse ângulo:
Então:

Passo 7

Substituindo de volta:
Sabemos que , então:
Portanto:

Resposta

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