Seja
sen
. Calcule
.
Passo 1
Vamos lá! O enunciado nos pede para calcular a
ª derivada da função
no ponto
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de derivadas de funções exponenciais e trigonométricas, além de alguns truques com números complexos. Vamos precisar entender como derivar funções compostas e aplicar fórmulas de derivadas de alta ordem.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a função
usando exponenciais complexas. Sabemos que
pode ser expressa como:
Portanto, podemos escrever
como:
Isso simplifica nossa função para uma combinação de exponenciais complexas.
Passo 3
Agora, para encontrar a
-ésima derivada de
, usamos a regra de derivação para exponenciais. A derivada
-ésima de
é
. Aplicando isso, temos:
Queremos avaliar essa derivada em
, então substituímos
por
:
Passo 4
Para simplificar ainda mais, vamos representar
e
na forma polar. Sabemos que:
Elevando esses termos à potência
, temos:
Passo 5
Substituindo de volta na expressão da derivada:
Reconhecemos que
, então:
Passo 6
Agora, vamos substituir
na expressão:
Simplificando o argumento do seno:
Como o seno tem período
, podemos reduzir esse ângulo:
Então:
Passo 7
Substituindo de volta:
Sabemos que
, então:
Portanto: