Calcular a derivada da função no ponto , na direção de cada um dos vetores dados a seguir:
b)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a derivada direcional da função no ponto na direção do vetor . O conteúdo que vamos usar aqui é cálculo de derivadas direcionais, que envolve derivadas parciais e o gradiente da função. Para isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais de em relação a e , encontrar o gradiente no ponto dado, e então usar o vetor direção para achar a derivada direcional.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular as derivadas parciais da função em relação a e . As derivadas parciais nos dizem como muda quando uma das variáveis muda, mantendo a outra constante.
A derivada parcial em relação a é:
E a derivada parcial em relação a é:

Passo 3

Agora, vamos avaliar essas derivadas no ponto .
Para em :
Para em :

Passo 4

O gradiente da função no ponto é um vetor que reúne essas derivadas parciais:

Passo 5

Para calcular a derivada direcional, precisamos do vetor direção unitário. Primeiro, vamos normalizar o vetor .
A magnitude de é:
Então, o vetor unitário na direção de é:

Passo 6

Agora, a derivada direcional é o produto escalar do gradiente com o vetor unitário:

Resposta

A derivada direcional de no ponto na direção de é .

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Calcular as derivadas parciais de segunda ordem da função no ponto .
Inverta a ordem de integração para calcular a integral.
Calcule a integral iterada de para
Determinar os pontos críticos da função . Examinar cada um deles e dizer se há máximo ou mínimo local. Resp.: Os pontos críticos são e . Em existe mínimo local; em tem-se um ponto de sela.