Calcular a derivada da função
no ponto
, na direção de cada um dos vetores dados a seguir:
b)
b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a derivada direcional da função
no ponto
na direção do vetor
. O conteúdo que vamos usar aqui é cálculo de derivadas direcionais, que envolve derivadas parciais e o gradiente da função. Para isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais de
em relação a
e
, encontrar o gradiente no ponto dado, e então usar o vetor direção para achar a derivada direcional.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular as derivadas parciais da função
em relação a
e
. As derivadas parciais nos dizem como
muda quando uma das variáveis muda, mantendo a outra constante.
A derivada parcial em relação a
é:
E a derivada parcial em relação a
é:
Passo 3
Agora, vamos avaliar essas derivadas no ponto
.
Para
em
:
Para
em
:
Passo 4
O gradiente da função
no ponto
é um vetor que reúne essas derivadas parciais:
Passo 5
Para calcular a derivada direcional, precisamos do vetor direção unitário. Primeiro, vamos normalizar o vetor
.
A magnitude de
é:
Então, o vetor unitário
na direção de
é:
Passo 6
Agora, a derivada direcional
é o produto escalar do gradiente com o vetor unitário:
Resposta
A derivada direcional de
no ponto
na direção de
é
.
Exercícios relacionados
Calcular as derivadas parciais de segunda ordem da função
no ponto
.
Inverta a ordem de integração para calcular a integral.
Calcule a integral iterada de
para
Determinar os pontos críticos da função
. Examinar cada um deles e dizer se há máximo ou mínimo local. Resp.: Os pontos críticos são
e
. Em
existe mínimo local; em
tem-se um ponto de sela.