Inverta a ordem de integração para calcular a integral.
integral0^1 integralraizy^1 raizx^3+1 d x d y

Passo 1

Beleza! Vamos analisar esse exercício que pede para inverter a ordem de integração de uma integral dupla. A matéria envolvida aqui é cálculo integral, especificamente integrais duplas e a troca de ordem de integração. Para resolver isso, vamos precisar entender a região de integração e como reescrever os limites de acordo com a nova ordem.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os limites de integração originais. A integral dada é:
integral0^1 integralraizy^1 raizx^3+1 , dx , dy
Isso significa que varia de 0 a 1, e para cada valor de , varia de a 1.

Passo 3

Para inverter a ordem de integração, precisamos reescrever os limites de e . Vamos visualizar a região de integração no plano .
Sabemos que vai de 0 a 1. E para cada , vai de a 1. Isso descreve uma região onde está entre e 1, e está entre 0 e 1.

Passo 4

Agora, vamos expressar em termos de . A desigualdade pode ser reescrita como .
Então, para um dado , varia de 0 até .

Passo 5

Com isso, os novos limites de integração ficam claros:
  • integral0^1 integral0^x^2 raizx^3+1 , dy , dx varia de 0 a 1.
  • Para cada , varia de 0 a .
Então, a integral com a ordem de integração invertida fica:

Passo 6

Agora, podemos simplificar a integral. Como integral0^x^2 raizx^3+1 , dy = raizx^3+1 cdot y |0^x^2 = raizx^3+1 cdot x^2 não depende de , a integral interna em relação a é simples:

Passo 7

Substituindo de volta na integral externa, temos:
integral0^1 x^2 raizx^3+1 , dx

Passo 8

Para resolver essa integral, fazemos uma substituição. Vamos deixar du = 3x^2 dx Rightarrow du3 = x^2 dx . Então, derivando em relação a :

Passo 9

Substituindo na integral, temos:
integral x^2 raizx^3+1 , dx = integral raizu cdot du3 = 13 integral u^1/2 , du

Passo 10

Resolvendo a integral:
13 cdot 23 u^3/2 + C = 29 u^3/2 + C
Substituindo 29 (x^3 + 1)^3/2 + C :

Passo 11

Agora, aplicamos os limites de 0 a 1:
29 [(1^3 + 1)^3/2 - (0^3 + 1)^3/2] = 29 [(2)^3/2 - (1)^3/2]
Sabendo que 29 (2 raiz2 - 1) e :

Resposta

A integral, após inverter a ordem de integração e calcular, resulta em:
29 (2 raiz2 - 1)

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