Inverta a ordem de integração para calcular a integral.
Passo 1
Beleza! Vamos analisar esse exercício que pede para inverter a ordem de integração de uma integral dupla. A matéria envolvida aqui é cálculo integral, especificamente integrais duplas e a troca de ordem de integração. Para resolver isso, vamos precisar entender a região de integração e como reescrever os limites de acordo com a nova ordem.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os limites de integração originais. A integral dada é:
Isso significa que varia de 0 a 1, e para cada valor de , varia de a 1.
Passo 3
Para inverter a ordem de integração, precisamos reescrever os limites de e . Vamos visualizar a região de integração no plano .
Sabemos que vai de 0 a 1. E para cada , vai de a 1. Isso descreve uma região onde está entre e 1, e está entre 0 e 1.
Passo 4
Agora, vamos expressar em termos de . A desigualdade pode ser reescrita como .
Então, para um dado , varia de 0 até .
Passo 5
Com isso, os novos limites de integração ficam claros:
varia de 0 a 1.
Para cada , varia de 0 a .
Então, a integral com a ordem de integração invertida fica:
Passo 6
Agora, podemos simplificar a integral. Como não depende de , a integral interna em relação a é simples:
Passo 7
Substituindo de volta na integral externa, temos:
Passo 8
Para resolver essa integral, fazemos uma substituição. Vamos deixar . Então, derivando em relação a :
Passo 9
Substituindo na integral, temos:
Passo 10
Resolvendo a integral:
Substituindo :
Passo 11
Agora, aplicamos os limites de 0 a 1:
Sabendo que e :
Resposta
A integral, após inverter a ordem de integração e calcular, resulta em: