Determinar os pontos críticos da função
. Examinar cada um deles e dizer se há máximo ou mínimo local. Resp.: Os pontos críticos são
e
. Em
existe mínimo local; em
tem-se um ponto de sela.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente quer encontrar os pontos críticos da função
e verificar se esses pontos são máximos locais, mínimos locais ou pontos de sela. Para isso, vamos precisar usar derivadas parciais e o teste da segunda derivada.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais da função em relação a
e
. As derivadas parciais nos ajudam a entender como a função muda quando alteramos uma das variáveis mantendo a outra constante.
-
Derivada parcial em relação a
: -
Derivada parcial em relação a
:
Passo 3
Agora, vamos encontrar os pontos críticos. Esses pontos ocorrem onde as derivadas parciais são iguais a zero. Ou seja, vamos resolver o sistema de equações:
Podemos simplificar dividindo ambas as equações por 3:
Vamos resolver esse sistema. Da primeira equa��ão, temos
. Substituindo isso na segunda equação:
Após resolver, encontramos dois pontos críticos:
Passo 4
Para classificar esses pontos, vamos usar o teste da segunda derivada, que envolve calcular as segundas derivadas da função e o determinante da matriz Hessiana.
Primeiro, vamos encontrar as segundas derivadas:
Passo 5
Agora, o determinante da matriz Hessiana é calculado assim:
Vamos calcular
para cada ponto crítico.
-
Para
: Além disso,, então é um mínimo local. -
Para
: Como, é um ponto de sela.
Resposta
Os pontos críticos são
e
. No ponto
existe um mínimo local; já no ponto
, temos um ponto de sela.
Exercícios relacionados
Calcule a integral iterada de
para
Calcular a derivada da função
no ponto
, na direção de cada um dos vetores dados a seguir:
b)
b)
Mostrar que a função
admite máximo local no ponto
.
Resp.: O valor máximo (local) de f é .
Resp.: O valor máximo (local) de f é
Em cada caso, achar as derivadas parciais
e
da função dada:
j)
j)