Determinar os pontos críticos da função F: R^2 -> R, F(x, y) = x^3 + y^3 - 18xy. Examinar cada um deles e dizer se há máximo ou mínimo local. Resp.: Os pontos críticos são p = (6, 6) e q = (0, 0). Em p existe mínimo local; em q tem-se um ponto de sela.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente quer encontrar os pontos críticos da função e verificar se esses pontos são máximos locais, mínimos locais ou pontos de sela. Para isso, vamos precisar usar derivadas parciais e o teste da segunda derivada.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais da função em relação a e . As derivadas parciais nos ajudam a entender como a função muda quando alteramos uma das variáveis mantendo a outra constante.
  • Derivada parcial em relação a :
  • Derivada parcial em relação a :

Passo 3

Agora, vamos encontrar os pontos críticos. Esses pontos ocorrem onde as derivadas parciais são iguais a zero. Ou seja, vamos resolver o sistema de equações:
Podemos simplificar dividindo ambas as equações por 3:
Vamos resolver esse sistema. Da primeira equa��ão, temos . Substituindo isso na segunda equação:
Após resolver, encontramos dois pontos críticos:

Passo 4

Para classificar esses pontos, vamos usar o teste da segunda derivada, que envolve calcular as segundas derivadas da função e o determinante da matriz Hessiana.
Primeiro, vamos encontrar as segundas derivadas:

Passo 5

Agora, o determinante da matriz Hessiana é calculado assim:
Vamos calcular para cada ponto crítico.
  • Para :
    Além disso, , então é um mínimo local.
  • Para :
    Como , é um ponto de sela.

Resposta

Os pontos críticos são e . No ponto existe um mínimo local; já no ponto , temos um ponto de sela.

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