Calcule a integral iterada de para

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a integral dupla da função sobre a região . Isso envolve o estudo de integrais iteradas, que são usadas para calcular volumes sob superfícies em regiões retangulares. Para resolver isso, vamos precisar entender como separar a integral em partes mais fáceis de calcular.

Passo 2

Primeiro, vamos reconhecer que a função pode ser decomposta em duas partes: uma que depende apenas de e outra que depende apenas de . Ou seja, podemos escrever:
Isso é importante porque, quando temos uma função assim, a integral dupla pode ser separada em duas integrais simples, uma em e outra em .

Passo 3

Agora, vamos aplicar o Teorema de Fubini, que nos permite escrever a integral dupla como o produto de duas integrais simples quando a função pode ser separada dessa forma. Então, temos:

Passo 4

Vamos calcular agora cada uma dessas integrais separadamente. Primeiro, a integral em :
Calculando cada parte:
Somando os dois resultados:

Passo 5

Agora, vamos calcular a integral em :
Essa é uma integral padrão que resulta na função arco-tangente:
Aplicando os limites de integração:

Resposta

Multiplicando os resultados das duas integrais, temos:
Então, a integral dupla é igual a .

Exercícios relacionados

Calcular a derivada da função no ponto , na direção de cada um dos vetores dados a seguir:
b)
Calcular as derivadas parciais de segunda ordem da função no ponto .
Determinar os pontos críticos da função . Examinar cada um deles e dizer se há máximo ou mínimo local. Resp.: Os pontos críticos são e . Em existe mínimo local; em tem-se um ponto de sela.
Mostrar que a função admite máximo local no ponto .
Resp.: O valor máximo (local) de f é .