Calcule a integral iterada de f(x, y) = (4 + x^2) / (1 + y^2) para R = {(x, y) | 0 <= x <= 9, 0 <= y <= 1}

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a integral dupla da função sobre a região . Isso envolve o estudo de integrais iteradas, que são usadas para calcular volumes sob superfícies em regiões retangulares. Para resolver isso, vamos precisar entender como separar a integral em partes mais fáceis de calcular.

Passo 2

Primeiro, vamos reconhecer que a função pode ser decomposta em duas partes: uma que depende apenas de e outra que depende apenas de . Ou seja, podemos escrever:
Isso é importante porque, quando temos uma função assim, a integral dupla pode ser separada em duas integrais simples, uma em e outra em .

Passo 3

Agora, vamos aplicar o Teorema de Fubini, que nos permite escrever a integral dupla como o produto de duas integrais simples quando a função pode ser separada dessa forma. Então, temos:

Passo 4

Vamos calcular agora cada uma dessas integrais separadamente. Primeiro, a integral em :
Calculando cada parte:
Somando os dois resultados:

Passo 5

Agora, vamos calcular a integral em :
Essa é uma integral padrão que resulta na função arco-tangente:
Aplicando os limites de integração:

Resposta

Multiplicando os resultados das duas integrais, temos:
Então, a integral dupla é igual a .

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