Calcular as derivadas parciais de segunda ordem da função no ponto .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular as derivadas parciais de segunda ordem da função no ponto . Isso faz parte do estudo de cálculo, especificamente de derivadas parciais, que nos ajuda a entender como a função muda em relação a cada uma das variáveis, nesse caso, e .

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais de primeira ordem da função. Ou seja, vamos derivar em relação a mantendo constante, e depois derivar em relação a mantendo constante.
A derivada parcial de em relação a é:
Simplificando:
Agora, a derivada parcial de em relação a :
Simplificando:

Passo 3

Agora vamos calcular as derivadas parciais de segunda ordem. Isso significa que vamos derivar as derivadas parciais de primeira ordem novamente em relação a e .
Primeiro, vamos derivar em relação a :
Depois, derivamos em relação a :
Agora, derivamos em relação a :
Por fim, derivamos em relação a :

Passo 4

Agora que temos todas as derivadas de segunda ordem, vamos avaliá-las no ponto .
Calculando em :
Calculando em :
Calculando em :
E finalmente, calculando em :

Resposta

As derivadas parciais de segunda ordem no ponto são:

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b)
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