Calcular as derivadas parciais de segunda ordem da função
no ponto
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular as derivadas parciais de segunda ordem da função
no ponto
. Isso faz parte do estudo de cálculo, especificamente de derivadas parciais, que nos ajuda a entender como a função muda em relação a cada uma das variáveis, nesse caso,
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais de primeira ordem da função. Ou seja, vamos derivar
em relação a
mantendo
constante, e depois derivar em relação a
mantendo
constante.
A derivada parcial de
em relação a
é:
Simplificando:
Agora, a derivada parcial de
em relação a
:
Simplificando:
Passo 3
Agora vamos calcular as derivadas parciais de segunda ordem. Isso significa que vamos derivar as derivadas parciais de primeira ordem novamente em relação a
e
.
Primeiro, vamos derivar
em relação a
:
Depois, derivamos
em relação a
:
Agora, derivamos
em relação a
:
Por fim, derivamos
em relação a
:
Passo 4
Agora que temos todas as derivadas de segunda ordem, vamos avaliá-las no ponto
.
Calculando
em
:
Calculando
em
:
Calculando
em
:
E finalmente, calculando
em
:
Resposta
As derivadas parciais de segunda ordem no ponto
são: