Determinar as posições críticas da função z = 2*x^3 + y^3 - 3*x^2 - 3*y + 1. Examinar os pontos encontrados e dizer se há máximo local, mínimo local ou ponto de sela.
Resp.: Pontos críticos: A = (0, 1), B = (0, -1), C = (1, 1) e D = (1, -1). Há máximo local em B mínimo local em C, selas em A e D.

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos a função e queremos encontrar suas posições críticas. Isso envolve calcular onde as derivadas parciais em relação a e são iguais a zero. Depois de encontrar esses pontos, precisamos determinar se cada um é um máximo local, mínimo local ou um ponto de sela. Para resolver isso, vamos precisar usar cálculo diferencial, especificamente derivadas parciais e o teste da segunda derivada.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular as derivadas parciais da função em relação a e .
A derivada parcial de em relação a é:
A derivada parcial de em relação a é:

Passo 3

Para encontrar as posições críticas, igualamos as derivadas parciais a zero:
Resolvendo a primeira equação para :
Resolvendo a segunda equação para :

Passo 4

Com as soluções para e , combinamos os valores para obter os pontos críticos:

Passo 5

Agora, vamos determinar a natureza de cada ponto crítico usando o teste da segunda derivada. Primeiro, calculamos as segundas derivadas:
O discriminante é dado por:

Passo 6

Vamos calcular e analisar cada ponto:
  1. Ponto A = (0, 1):
    Como , é um ponto de sela.
  2. Ponto B = (0, -1):
    Além disso, , então é um máximo local.
  3. Ponto C = (1, 1):
    Como e , é um mínimo local.
  4. Ponto D = (1, -1):
    Como , é um ponto de sela.

Resposta

Pontos críticos: , , e .
  • Máximo local em
  • Mínimo local em
  • Pontos de sela em e

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