Determinar as posições críticas da função . Examinar os pontos encontrados e dizer se há máximo local, mínimo local ou ponto de sela.
Resp.: Pontos críticos: e . Há máximo local em mínimo local em , selas em e .
Passo 1
Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos a função e queremos encontrar suas posições críticas. Isso envolve calcular onde as derivadas parciais em relação a e são iguais a zero. Depois de encontrar esses pontos, precisamos determinar se cada um é um máximo local, mínimo local ou um ponto de sela. Para resolver isso, vamos precisar usar cálculo diferencial, especificamente derivadas parciais e o teste da segunda derivada.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular as derivadas parciais da função em relação a e .
A derivada parcial de em relação a é:
A derivada parcial de em relação a é:
Passo 3
Para encontrar as posições críticas, igualamos as derivadas parciais a zero:
Resolvendo a primeira equação para :
Resolvendo a segunda equação para :
Passo 4
Com as soluções para e , combinamos os valores para obter os pontos críticos:
Passo 5
Agora, vamos determinar a natureza de cada ponto crítico usando o teste da segunda derivada. Primeiro, calculamos as segundas derivadas: