Determinar as posições críticas da função
. Examinar os pontos encontrados e dizer se há máximo local, mínimo local ou ponto de sela.
Resp.: Pontos críticos:
e
. Há máximo local em
mínimo local em
, selas em
e
.
Resp.: Pontos críticos:
Passo 1
Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos a função
e queremos encontrar suas posições críticas. Isso envolve calcular onde as derivadas parciais em relação a
e
são iguais a zero. Depois de encontrar esses pontos, precisamos determinar se cada um é um máximo local, mínimo local ou um ponto de sela. Para resolver isso, vamos precisar usar cálculo diferencial, especificamente derivadas parciais e o teste da segunda derivada.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular as derivadas parciais da função
em relação a
e
.
A derivada parcial de
em relação a
é:
A derivada parcial de
em relação a
é:
Passo 3
Para encontrar as posições críticas, igualamos as derivadas parciais a zero:
Resolvendo a primeira equação para
:
Resolvendo a segunda equação para
:
Passo 4
Com as soluções para
e
, combinamos os valores para obter os pontos críticos:
Passo 5
Agora, vamos determinar a natureza de cada ponto crítico usando o teste da segunda derivada. Primeiro, calculamos as segundas derivadas:
O discriminante
é dado por:
Passo 6
Vamos calcular
e analisar cada ponto:
-
Ponto A = (0, 1):Como
, é um ponto de sela. -
Ponto B = (0, -1):Além disso,
, então é um máximo local. -
Ponto C = (1, 1):Como
e , é um mínimo local. -
Ponto D = (1, -1):Como
, é um ponto de sela.
Resposta
Pontos críticos:
,
,
e
.
- Máximo local em
- Mínimo local em
- Pontos de sela em
e