Examinar a função do ponto de vista dos máximos mínimos locais.
Resp.: A função não tem máximo local, nem mínimo local, tem pontos de sela em e ,

Passo 1

Então, temos que analisar a função , definida por . O objetivo é verificar se essa função possui máximos ou mínimos locais. Para isso, vamos utilizar conceitos de cálculo diferencial, como derivadas parciais e o teste da segunda derivada para funções de duas variáveis.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar os pontos críticos da função . Pontos críticos são aqueles onde todas as derivadas parciais de primeira ordem são iguais a zero. Vamos calcular as derivadas parciais de em relação a e .
A derivada parcial de em relação a é:
A derivida parcial de em relação a é:

Passo 3

Agora, vamos igualar essas derivadas a zero para encontrar os pontos críticos:
Vamos resolver o sistema de equações. Da segunda equação:
Isso nos dá duas possibilidades: ou .

Passo 4

Primeiro, consideramos . Substituindo na primeira equação:
Portanto, temos dois pontos críticos: e .
Agora, consideramos a segunda possibilidade da equação , ou seja, . Substituindo na primeira equação:
Isso não tem solução real, então os únicos pontos críticos são e .

Passo 5

Para determinar se esses pontos críticos são máximos, mínimos ou pontos de sela, usamos o teste da segunda derivada. Calculamos as derivadas parciais de segunda ordem:
O discriminante é dado por:
Vamos calcular para os pontos críticos encontrados.

Passo 6

Primeiro, para :
Como , o ponto é um ponto de sela.
Agora, para :
Novamente, , então o ponto também é um ponto de sela.

Resposta

A função não possui máximo local nem mínimo local, mas apresenta pontos de sela nos pontos e .

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Calcular a derivada da função no ponto , na direção de cada um dos vetores dados a seguir:
c) , sendo e
Calcule a integral iterada de para
Determinar as posições críticas da função . Examinar os pontos encontrados e dizer se há máximo local, mínimo local ou ponto de sela.
Resp.: Pontos críticos: e . Há máximo local em mínimo local em , selas em e .
Mostrar que a função atinge seu valor máximo no ponto e seu valor mínimo em pontos da fronteira da região limitada por .