Examinar a função
do ponto de vista dos máximos mínimos locais.
Resp.: A função
não tem máximo local, nem mínimo local, tem pontos de sela em
e
,
Resp.: A função
Passo 1
Então, temos que analisar a função
, definida por
. O objetivo é verificar se essa função possui máximos ou mínimos locais. Para isso, vamos utilizar conceitos de cálculo diferencial, como derivadas parciais e o teste da segunda derivada para funções de duas variáveis.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar os pontos críticos da função
. Pontos críticos são aqueles onde todas as derivadas parciais de primeira ordem são iguais a zero. Vamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
e
.
A derivada parcial de
em relação a
é:
A derivida parcial de
em relação a
é:
Passo 3
Agora, vamos igualar essas derivadas a zero para encontrar os pontos críticos:
Vamos resolver o sistema de equações. Da segunda equação:
Isso nos dá duas possibilidades:
ou
.
Passo 4
Primeiro, consideramos
. Substituindo na primeira equação:
Portanto, temos dois pontos críticos:
e
.
Agora, consideramos a segunda possibilidade da equação
, ou seja,
. Substituindo na primeira equação:
Isso não tem solução real, então os únicos pontos críticos são
e
.
Passo 5
Para determinar se esses pontos críticos são máximos, mínimos ou pontos de sela, usamos o teste da segunda derivada. Calculamos as derivadas parciais de segunda ordem:
O discriminante
é dado por:
Vamos calcular
para os pontos críticos encontrados.
Passo 6
Primeiro, para
:
Como
, o ponto
é um ponto de sela.
Agora, para
:
Novamente,
, então o ponto
também é um ponto de sela.
Resposta
A função
não possui máximo local nem mínimo local, mas apresenta pontos de sela nos pontos
e
.