Examinar a função do ponto de vista dos máximos mínimos locais.
Resp.: A função não tem máximo local, nem mínimo local, tem pontos de sela em e ,
Passo 1
Então, temos que analisar a função , definida por . O objetivo é verificar se essa função possui máximos ou mínimos locais. Para isso, vamos utilizar conceitos de cálculo diferencial, como derivadas parciais e o teste da segunda derivada para funções de duas variáveis.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar os pontos críticos da função . Pontos críticos são aqueles onde todas as derivadas parciais de primeira ordem são iguais a zero. Vamos calcular as derivadas parciais de em relação a e .
A derivada parcial de em relação a é:
A derivida parcial de em relação a é:
Passo 3
Agora, vamos igualar essas derivadas a zero para encontrar os pontos críticos:
Vamos resolver o sistema de equações. Da segunda equação:
Isso nos dá duas possibilidades: ou .
Passo 4
Primeiro, consideramos . Substituindo na primeira equação:
Portanto, temos dois pontos críticos: e .
Agora, consideramos a segunda possibilidade da equação , ou seja, . Substituindo na primeira equação:
Isso não tem solução real, então os únicos pontos críticos são e .
Passo 5
Para determinar se esses pontos críticos são máximos, mínimos ou pontos de sela, usamos o teste da segunda derivada. Calculamos as derivadas parciais de segunda ordem:
O discriminante é dado por:
Vamos calcular para os pontos críticos encontrados.
Passo 6
Primeiro, para :
Como , o ponto é um ponto de sela.
Agora, para :
Novamente, , então o ponto também é um ponto de sela.
Resposta
A função não possui máximo local nem mínimo local, mas apresenta pontos de sela nos pontos e .