Calcular as derivadas:
dd x integral-x^arccos x cos ^20 t d t

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a derivada em relação a de uma integral que tem os limites variáveis, ou seja, que dependem de . A matéria que vamos usar aqui é o Cálculo Diferencial, mais especificamente a Regra de Leibniz para diferenciação de integrais com limites variáveis. Para resolver isso, vamos precisar entender como derivar uma integral cujo limite inferior e superior mudam conforme .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a Regra de Leibniz, que nos ajuda a derivar integrais com limites que dependem de ddx integrala(x)^b(x) f(t) , dt . A regra diz que se tivermos uma integral da forma:
f(b(x)) cdot b'(x) - f(a(x)) cdot a'(x)
Então a derivada será:
Isso significa que a derivada da integral é a função avaliada no limite superior, multiplicada pela derivada desse limite, menos a função avaliada no limite inferior, multiplicada pela derivada desse limite.

Passo 3

No nosso caso, a função dentro da integral é . Os limites da integral são (limite inferior) e (limite superior).
Vamos identificar cada parte:
Agora, precisamos calcular as derivadas dos limites:
  • (porque a derivada de é )

Passo 4

Aplicando a Regra de Leibniz, substituímos na fórmula:
ddx integral-x^arccos x cos^20 t , dt = cos^20(arccos x) cdot ( -1raiz1 - x^2 ) - cos^20(-x) cdot (-1)

Passo 5

Vamos simplificar isso passo a passo. Primeiro, sabemos que cos^20(arccos x) = x^20 , então:
cos^20(-x) = cos^20 x
Além disso, ddx integral-x^arccos x cos^20 t , dt = x^20 cdot ( -1raiz1 - x^2 ) - cos^20 x cdot (-1) , porque o cosseno é uma função par. Portanto:
Substituindo essas simplificações:

Passo 6

Agora, vamos simplificar os sinais:
= -x^20raiz1 - x^2 + cos^20 x
Podemos reescrever isso colocando a parte positiva na frente:
= cos^20 x - x^20raiz1 - x^2

Resposta

A derivada é:
ddx integral-x^arccos x cos^20 t , dt = cos^20 x - x^20raiz1 - x^2

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