Calcular as derivadas:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a derivada em relação a
de uma integral que tem os limites variáveis, ou seja, que dependem de
. A matéria que vamos usar aqui é o Cálculo Diferencial, mais especificamente a Regra de Leibniz para diferenciação de integrais com limites variáveis. Para resolver isso, vamos precisar entender como derivar uma integral cujo limite inferior e superior mudam conforme
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a Regra de Leibniz, que nos ajuda a derivar integrais com limites que dependem de
. A regra diz que se tivermos uma integral da forma:
Então a derivada será:
Isso significa que a derivada da integral é a função
avaliada no limite superior, multiplicada pela derivada desse limite, menos a função
avaliada no limite inferior, multiplicada pela derivada desse limite.
Passo 3
No nosso caso, a função dentro da integral é
. Os limites da integral são
(limite inferior) e
(limite superior).
Vamos identificar cada parte:
Agora, precisamos calcular as derivadas dos limites:
-
-
(porque a derivada de é )
Passo 4
Aplicando a Regra de Leibniz, substituímos na fórmula:
Passo 5
Vamos simplificar isso passo a passo. Primeiro, sabemos que
, então:
Além disso,
, porque o cosseno é uma função par. Portanto:
Substituindo essas simplificações:
Passo 6
Agora, vamos simplificar os sinais:
Podemos reescrever isso colocando a parte positiva na frente:
Resposta
A derivada é:
Exercícios relacionados
Se
é uma função contínua tal que
, quanto vale
Calcular as integrais :
Obtenha
.
Encontre o limite. Use a Regra de l